分类讨论的思想方法(2)-----高考题选讲VIP专享VIP免费

分类讨论的思想方法(2)-----高考题选讲在解题时，我们常常会遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法，统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在多个子区域内进行解题，这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究方向基本是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们总合在一起，这种“合－分－合”的解决问题的过程，就是分类讨论的思想方法.分类讨论的思想是以概念的划分、集合的分类为基础的思想方法，高考对分类讨论的思想的考查，有以下几个方面:一是考查有没有分类意识，遇到应该分类的情况，是否想到要分类，什么样的问题需要分类？例如（１）有些概念就是分类定义的，如绝对值的概念，又如整数分为奇数、偶数，把三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形等等；（２）有的运算法则和定理，公式是分类给出的，例如等比数列的求和公式就分为q=1和q≠1两种情况；对数函数的单调性就分为a>1，a<1两种情况；求一元二次不等式的解又分为a>0，a<0，及Δ>０，Δ=0，Δ<０共六种情况；直线方程分为斜率存在与不存在等等；（３）图形位置的相对变化也会引起分类，例如两点在同一平面的同侧，异侧，二次函数图象的对称轴相对于定义域的不同位置等；（４）对于一些题目如排列组合的计数问题，概率问题又要按题目的特殊要求，分成若干情况研究；（５）整数的同余类，如把整数分成奇数和偶数等.二是如何分类，即要会科学地分类，分类要标准统一，不重不漏；三是分类之后如何研究；四是如何整合.下面就高考中出现的一些相关题进行点评例1解关于x的不等式：＞1（a≠1）解析：原不等式等价于：＞0，即(a﹣1)(x﹣)(x﹣2)＞0①若a>1，则①等价于(x﹣)(x﹣2)＞0.又 2﹣＝﹣﹣1＜0，∴＜2∴原不等式的解集为；(﹣∞，)∪（2,＋∞）；若a<1时，则①等价于(x﹣)(x﹣2)＜0.由于2﹣＝，当02，∴原不等式的解集为(2，).当a<0时，<2，∴原不等式的解集为(，2).当a＝0时，原不等式为(x﹣2)2＜0，解集为.综上所述：当a<0时，原不等式的解集为；(，2)；当a＝0时，原不等式的解集为；用心爱心专心当01时，原不等式的解集为；(﹣∞，)∪（2,＋∞）.【点拨】：本题需要两级分类，第一级，按开口方向分类分a＞1和a＜1，在a<1时，又需要讨论两个根2与的大小，又分为三类，即a＜0，a=0和0＜a＜1.例2在等比数列{an}中，Sn=a1+a2+a3+…+an，Tn=a1a2a3…an，Pn=+++…+，求证：()=Tn2.解析：由所要证明的等式，知须分别求出Sn、Tn、Pn，因此要用等比数列的前n项和公式，根据公式的要求必须对公比q进行分类讨论.(1)当q=1时，Sn=na1,Tn=a1n，Pn=，∴()=[]=a12n，Tn2=a12n，∴()=Tn2；(2)当q≠1时，Sn=，Tn=a1n·q，Pn==，∴=a12qn-1，()=a12nqn(n-1)，Tn2=a12nqn(n-1)，∴()=Tn2.【点拨】：扎实的基础和严密的推理是进行合理有效的分类讨论的前提，课本中的公式比较多，必须对每一个公式都要有透彻的理解，对在应用公式解题时是否需要对公式进行分类讨论才能做到心中有数，使解答过程具有完整性.例3解关于x的不等式＜2logx-1(a＞0,a≠1)解析；转化为等价不等式组，注意对于logx的底数的a进行讨论.原不等式等价于由①得logx≥，由②得logx<或logx>1，由③得logx>，∴≤logx<或logx>1，当a>1时，所求不等式的解集为{x|a≤xa}；当0