课时作业(二十七)数系的扩充与复数的引入A级1．互为共轭复数的两复数之差是()A．实数B．纯虚数C．0D．零或纯虚数2．(2012·福建莆田质量检测)已知a，b是实数，i是虚数单位，若i(1＋ai)＝1＋bi，则a＋b等于()A．0B．1C．2D．－23．(2013·长沙模拟)已知集合M＝，i是虚数单位，Z为整数集，则集合Z∩M中的元素个数是()A．3个B．2个C．1个D．0个4．复数z＝(m∈R，i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．定义：若z2＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则称复数z是复数a＋bi的平方根．根据定义，则复数－3＋4i的平方根是()A．1－2i或－1＋2iB．1＋2i或－1－2iC．－7－24iD．7＋24i6．已知复数z＝1－i，则＝________.7．已知复数z与(z＋2)2－8i均是纯虚数，则z＝________.8．已知复数2＋i与复数在复平面内对应的点分别是A与B，则∠AOB＝________.9．设复数z满足|z|＝5且(3＋4i)z是纯虚数，则＝________.10．计算：(1)；(2)；(3)＋.11．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.B级1．已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝(1－2i)(a＋i)在复平面内对应的点为M，则1“a＞”是“点M在第四象限”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________．3．已知A(1,2)，B(a,1)，C(2,3)，D(－1，b)(a，b∈R)是复平面上的四点，且向量AB，CD对应的复数分别为z1，z2.(1)若z1＋z2＝1＋i，求＋.(2)若z1＋z2为纯虚数，z1－z2为实数，求a，b.详解答案课时作业(二十七)A级1．D设互为共轭复数的两个复数分别为z＝a＋bi，＝a－bi(a，b∈R)，则z－＝2bi或－z＝－2bi.∵b∈R，当b≠0时，z－，－z为纯虚数；当b＝0时，z－＝－z＝0.故选D.2．A由于a，b是实数，所以i(1＋ai)＝1＋bi变形为i－a＝1＋bi，∴即从而a＋b＝0.3．B由已知得M＝{i，－1，－i,2}，Z为整数集，∴Z∩M＝{－1,2}，即集合Z∩M中有2个元素．4．Az＝＝＝＋i，显然＞0与－＞0不可能同时成立，则z＝对应的点不可能位于第一象限．5．B设(x＋yi)2＝－3＋4i，则解得或6．解析：＝＝＝＝－2i.答案：－2i7．解析：设z＝ai，a∈R且a≠0，则(z＋2)2－8i＝4－a2＋(4a－8)i.∵(z＋2)2－8i是纯虚数，∴4－a2＝0且4a－8≠0.解得a＝－2.因此z＝－2i.答案：－2i28．解析：由题意得，点A的坐标为(2,1)．∵＝－，∴B点的坐标为.∴OA＝(2,1)，OB＝，∴cos∠AOB＝＝，∴∠AOB＝.答案：9．解析：设z＝a＋bi(a、b∈R)，则有＝5.(*)于是(3＋4i)z＝(3a－4b)＋(4a＋3b)i.由题设得得b＝a，代入(*)得a2＋2＝25，解得a＝±4，∴或.∴＝4－3i或＝－4＋3i.答案：±(4－3i)10．解析：(1)＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.(3)＋＝＋＝＋＝－1.11．解析：(z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.∵z1·z2∈R.∴a＝4.∴z2＝4＋2i.B级1．Cz＝(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i，若其对应的点在第四象限，则a＋2＞0，且1－2a＜0，解得a＞.即“a＞”是“点M在第四象限”的充要条件．2.解析：|z－2|＝＝，∴(x－2)2＋y2＝3.由图可知max＝＝.答案：3．解析：(1)∵AB＝(a,1)－(1,2)＝(a－1，－1)，CD＝(－1，b)－(2,3)＝(－3，b－3)，∴z1＝(a－1)－i，z2＝－3＋(b－3)i，∴z1＋z2＝(a－4)＋(b－4)i，又z1＋z2＝1＋i，∴，∴，∴z1＝4－i，z2＝－3＋2i，∴＋＝＋＝＋＝＋＝－＋i.(2)由(1)得z1＋z2＝(a－4)＋(b－4)i，z1－z2＝(a＋2)＋(2－b)i，3∵z1＋z2为纯虚数，z1－z2为实数，∴∴.4
