选修4—4坐标系与参数方程第1讲坐标系与简单曲线的极坐标方程基础巩固1.在极坐标系中,点到圆ρ=2cosθ的圆心的距离为()A.2B.C.D.【答案】D【解析】∵圆ρ=2cosθ在直角坐标系中的方程为(x-1)2+y2=1,点的直角坐标为(1,),∴圆心(1,0)与(1,)的距离为d==.2.在极坐标系中,直线ρsin=2被圆ρ=4截得的弦长为.【答案】4【解析】直线ρsin=2可化为x+y-2=0,圆ρ=4可化为x2+y2=16,由圆中的弦长公式可得所求弦长为2=2=4.3.设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y=sinx的方程变为.【答案】y'=3sin2x'【解析】∵代入y=sinx得y'=3sin2x'.4.在极坐标系中,已知两点A,B的极坐标分别为,,则△AOB(其中O为极点)的面积为.【答案】3【解析】结合图形(图略),可知△AOB的面积S=OA·OB·sin=3.5.在极坐标系中,直线θ=截圆ρ=2cos(ρ∈R)所得的弦长是.【答案】2【解析】把直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程分别为y=x和+=1.显然圆心在直线y=x上.故所求的弦长等于圆的直径的大小,即为2.6.若直线2x+3y-1=0经过变换可以化为6x+6y-1=0,则坐标变换公式是.【答案】【解析】设直线2x+3y-1=0上任一点的坐标为(x,y),经变换后其对应点的坐标为(x',y'),设坐标变换公式为则有将其代入直线方程2x+3y-1=0,得x'+y'-1=0,将其与6x+6y-1=0比较得k=,h=.故所求的坐标变换公式为7.(2012·陕西卷,15C)直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为.【答案】【解析】直线2ρcosθ=1即为2x=1,圆ρ=2cosθ即为(x-1)2+y2=1,由此可求得弦长为.8.在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的交点的极坐标为.【答案】【解析】方法一:由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,其普通方程为x2+y2=2y,又ρcosθ=-1的普通方程为x=-1,联立解得故点(-1,1)的极坐标为.方法二:∵∴sin2θ=-1,sinθ>0,cosθ<0.1从而可知<θ<π,π<2θ<2π.因此2θ=,θ=.故ρ=,所求交点为.9.(2012·安徽卷,13)在极坐标系中,圆ρ=4sinθ的圆心到直线θ=(ρ∈R)的距离是.【答案】【解析】因为由极坐标下圆的方程ρ=4sinθ可得ρ2=4ρsinθ,所以x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4,表示以(0,2)为圆心,2为半径的圆.又θ=(ρ∈R)表示直线y=x,所以由点到直线的距离公式可得d==.10.把极坐标方程ρ=化成直角坐标方程.【解】∵ρ=,∴2ρ-ρcosθ=4,即2ρ=4+ρcosθ.于是4ρ2=(ρcosθ+4)2.故4x2+4y2=(x+4)2=x2+8x+16,即3x2-8x+4y2=16.11.将直角坐标方程x2+(y-2)2=4化成极坐标方程.【解】∵x2+(y-2)2=4,∴x2+y2=4y,把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入x2+y2=4y,得ρ2-4ρsinθ=0,即ρ=4sinθ.12.在极坐标系中,求点P到直线l:ρsin=1的距离.【解】∵点P的直角坐标为,将直线l:ρsin=1化为直角坐标方程为ρsinθcos-ρcosθsin=y-=1,即x-y+2=0,∴d==+1.13.在极坐标系中,求点M关于直线θ=的对称点的坐标.【解】设点M关于直线θ=的对称点为M'(ρ,θ),线段MM'交直线θ=于点A,则∠M'OA=∠MOA=-=,于是点M'的极角θ=-=.又点M,M'的极半径相等,∴ρ=4.故点M'的极坐标为.拓展延伸14.在极坐标系中,极点为O.已知一条封闭的曲线C由三段圆弧组成:ρ=2cosθ,ρ=2sinθ,ρ=2.(1)求曲线C围成的区域的面积;(2)若直线l:ρsin=k(k∈R)与曲线C恰有两个公共点,求实数k的取值范围.【解】(1)如右图,设两段小圆弧所在圆的圆心分别为A,C,它们的衔接点为B,则四边形OABC是边长为1的正方形.曲线C围成的区域面积S=π·22+1·1+·π·12=1+π.(2)如图,以极点为原点,以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系,其中点M为圆A与x轴正半轴的交点,点N为圆C与y轴正半轴的交点,则小圆弧,所在的圆的方程分别为(x-1)2+y2=1,x2+(y-1)2=1,大圆弧所在的圆方程为x2+y2=4.直线l:ρsin=k在直角坐标系下的方程为x+y=k.2当l与圆弧相切时,l的方程为y=-x-2;当l过M,B,N三点时,l的方程为y=-x+2;当l与圆弧,都相切时,记l与曲线C的切点分别为E,F,且与x轴的交点为D.因为在等腰直角三角形AED中,AE=1,AD=,所以OD=1+.此时l的方程为y=-x+1+.因此,要使l与曲线C恰有两个公共点,必须-2
