第9讲直线与圆锥曲线的位置关系基础巩固1.AB为过椭圆=1中心的弦,F(c,0)为该椭圆的焦点,则△FAB的最大面积为()A.b2B.abC.acD.bc【答案】D【解析】设A,B两点的坐标为(x1,y1),(-x1,-y1),则S△FAB=|OF||2y1|=c|y1|≤bc.2.过双曲线x2-y2=4上任一点M作它的一条渐近线的垂线段,垂足为N,O是坐标原点,则△OMN的面积是()A.1B.2C.3D.不确定【答案】A【解析】过双曲线上任一点M(x0,y0)作渐近线y=±x的垂线,垂足分别为N,N'.|MN|·|MN'|=·=2,故S△OMN=1.3.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为其左支下半支上任意一点(异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围是()A.(-∞,0)B.(1,+∞)C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)【答案】C【解析】数形结合法,与渐近线斜率比较.可得答案为C.4.抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,而且被直线2x-y+1=0所截得的弦长等于,则抛物线的方程是()A.y2=-12x或y2=4xB.y2=-4x或y2=12xC.y2=-10x或y2=4xD.y2=-6x或y2=10x【答案】B【解析】设所求抛物线为y2=ax(a∈R且a≠0),由得2y2-ay+a=0.若弦两端点纵坐标分别为y1和y2,则|y1-y2|=.于是弦长=,解得a=12或a=-4.5.已知椭圆=1,若在此椭圆上存在不同的两点A,B关于直线y=4x+m对称,则实数m的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x,y),由题意知kAB==-,x1+x2=2x,y1+y2=2y,3+4=12①,3+4=12②.①②两式相减得3()+4()=0,即y1+y2=3(x1+x2),即y=3x,与y=4x+m联立得x=-m,y=-3m,而M(x,y)在椭圆的内部,则<1,即-1时,直线y=ax-a恒在抛物线y=x2的下方,则a的取值范围是.【答案】(-∞,4)【解析】由题意联立整理可得x2-ax+a=0,由Δ=a2-4a=0,解得a=0或a=4,此时直线与抛物线相切,因为直线横过定点(1,0),结合图形可知当a∈(-∞,4),x>1时直线y=ax-a恒在抛物线y=x2的下方.8.已知直线l与椭圆x2+2y2=2交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线l的斜率为k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值等于.【答案】-【解析】设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则P,k2=,k1=,k1k2=.由相减得=-).故k1k2=-.9.过抛物线x2=2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A,B两点,A,B在x轴上的正射影分别为D,C.若梯形ABCD的面积为12,则p=.【答案】2【解析】抛物线的焦点为,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y-=x,即y=x+.联立消去y,得x2-2px-p2=0.∴x1=(1+)p,x2=(1-)p.∴y1+y2=x1++x2+=2p+p=3p,|CD|=|x1-x2|=2p.由S梯形ABCD=(|AD|+|BC|)·CD=×3p×2p=12,解得p2=4,∴p=±2. p>0,∴p=2.10.已知双曲线方程:x2-=1,则以A(2,1)为中点的弦所在直线l的方程是.【答案】6x-y-11=0【解析】设l与双曲线交于P(x1,y1)和Q(x2,y2),则②-①,得(x2+x1)(x2-x1)-(y2+y1)(y2-y1)=0,而x1+x2=4,y1+y2=2,∴4(x2-x1)-(y2-y1)=0.∴=6,即kl=6. 点A(2,1)在双曲线的内部,∴直线l的方程为y-1=6(x-2),即6x-y-11=0.11.已知点A(0,2)和抛物线C:y2=6x,求过点A且与抛物线C相切的直线l的方程.【解】设直线l的方程为y=kx+2,这个方程与抛物线C的方程联立,得方程组当k=0时,由方程组得6x=4,x=,可知此时直线l与抛物线相交于点.当k≠0时,由方程组消去x,得方程ky2-6y+12=0.(*)关于y的二次方程(*)的判别式Δ=36-48k.由Δ=0,得k=,可知此时直线l与抛物线C有一个公共点,即它们相切.直线l的方程为3x-4y+8=0.当直线l的斜率不存在时,直线l就是y轴,其方程为x=0.所以,直线l的方程为3x-4y+8=0,或x=0.12.已知椭圆=1(a>b>0)的一个焦点在直线l:x=1上,其离心率e=.设P,Q为椭圆上不同的两点,且弦PQ的中点T在直线l上,点R.(1)求椭圆的方程;(2)试证:对于所有满足条件的P,Q,恒有|RP|=|RQ|.2【解】(1)椭圆的一个焦点在直线l:x=1上,所以c=1.又因为离心率e=,即,所以a=2,从而b2=3.所以椭圆的方程为=1.(2)证明:设T(1,y0),P(x1,y1),Q(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),·(x2-x1)+y0(y2-y1).又因为P,Q都在椭圆=1上,所以=1,=1,两式相减得(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y...
