第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是()A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离【答案】B【解析】圆心到直线的距离d==<1,∴直线与圆相交但不过圆心.2.圆C1:x2+y2+2x+2y-2=0与圆C2:x2+y2-4x-2y+1=0的公切线有且仅有()A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】B【解析】可判断圆C1与C2相交,故公切线有2条.3.圆x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为()A.x+y-2=0B.x+y-4=0C.x-y+4=0D.x-y+2=0【答案】D【解析】设切线方程为y-=k(x-1),由d=r,可求得k=.故所求切线方程为x-y+2=0.4.过点(0,-1)作直线l与圆x2+y2-2x-4y-20=0交于A,B两点,如果|AB|=8,则直线l的方程为()A.3x+4y+4=0B.3x-4y-4=0C.3x+4y+4=0或y+1=0D.3x-4y-4=0或y+1=0【答案】C【解析】圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=25.圆心为(1,2),半径r=5,又|AB|=8,从而圆心到直线的距离等于3.由点到直线的距离公式得直线方程为3x+4y+4=0或y+1=0.5.已知一圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为()A.10B.20C.30D.40【答案】B【解析】圆的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=52,∴圆心为P(3,4).∴过点(3,5)的最长弦为直径|AC|=10,过点(3,5)的最短弦|BD|=2=4.故S四边形ABCD=|AC||BD|=×10×4=20.6.设O为坐标原点,C为圆(x-2)2+y2=3的圆心,且圆上有一点M(x,y)满足·=0,则等于()A.B.或-C.D.或-【答案】D1【解析】∵·=0,∴OM⊥CM.∴OM是圆C的切线.设OM的方程为y=kx,由=,得k=±,即=±.7.设m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是()A.[1-,1+]B.(-∞,1-]∪[1+,+∞)C.[2-2,2+2]D.(-∞,2-2]∪[2+2,+∞)【答案】D【解析】∵直线与圆相切,∴=1,∴|m+n|=,即mn=m+n+1.设m+n=t,则mn≤=,∴t+1≤.∴t2-4t-4≥0,解得t≤2-2或t≥2+2.8.(2012·北京卷,9)直线y=x被圆x2+(y-2)2=4截得的弦长为.【答案】2【解析】由题意得,圆x2+(y-2)2=4的圆心为(0,2),半径为2,圆心到直线x-y=0的距离d==.设截得的弦长为l,则由+()2=22,得l=2.9.(2012·天津卷,12)设m,n∈R,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则△AOB面积的最小值为.【答案】3【解析】∵l与圆相交所得弦的长为2.∴=.∴m2+n2=≥2|mn|,即|mn|≤.l与x轴交点A,与y轴交点B,故S△AOB=·=·×6=3.10.求过点P(4,-1)且与圆C:x2+y2+2x-6y+5=0切于点M(1,2)的圆的方程.【解】设所求圆的圆心为A(m,n),半径为r,则A,M,C三点共线,且有|MA|=|AP|=r,因为圆C:x2+y2+2x-6y+5=0的圆心为C(-1,3),则解得m=3,n=1,r=,所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5.11.已知圆C的圆心与点P(-2,1)关于直线y=x+1对称,直线3x+4y-11=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=6,求圆C的方程.【解】设点P关于直线y=x+1的对称点为C(m,n),则有解得故圆心C(0,-1)到直线3x+4y-11=0的距离d==3,所以圆C的半径的平方r2=d2+=18.故圆C的方程为x2+(y+1)2=18.12.已知圆x2+y2-4x+2y-3=0和圆外一点M(4,-8).(1)过M作圆的割线交圆于A,B两点,若|AB|=4,求直线AB的方程;(2)过M作圆的切线,切点为C,D,求切线长及CD所在直线的方程.【解】(1)圆x2+y2-4x+2y-3=0化为标准方程为(x-2)2+(y+1)2=8,圆心为P(2,-1),半径r=2.①若割线斜率存在,设AB:y+8=k(x-4),2即kx-y-4k-8=0,设AB的中点为N,则|PN|==,由|PN|2+=r2,得k=-,此时AB的直线方程为45x+28y+44=0.②若割线斜率不存在,AB:x=4,代入圆方程得y2+2y-3=0,解得y1=1,y2=-3,符合题意.综上,直线AB的方程为45x+28y+44=0或x=4.(2)切线长为==3.以PM为直径的圆的方程为(x-2)(x-4)+(y+1)·(y+8)=0,即x2+y2-6x+9y+16=0.又已知圆的方程为x2+y2-4x+2y-3=0,两式相减,得2x-7y-19=0,所以直线CD的方程为2x-7y-19=0.拓展延伸13.已知m∈R,直线l:mx-(m2+1)y=4m和圆C:x2+y2-8x+4y+16=0.(1)求直线l的斜率的取值范围;(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧?为什么?【解】(1)设直线l的斜率为k.直线l的方程可化为y=x-,此时直线l的斜率k=.因为|m|≤(m2+1),所以|k|=,当且仅当|m|=1时等号成立.所以斜率k的取值范围是.(2)不能.由(1)知直线l的方程为y=k(x-4),其中|k|≤.圆C的圆心为(4,-2),半径r=2,圆心C到直线l的距离为d=,由|k|≤,得d≥>1,即d>,从而,若直线l与圆C相交,则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于,所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧.3
