第4章第1节三角函数、解三角形三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导公式一、选择题(6×5分＝30分)1．若α、β终边关于y轴对称，则下列等式成立的是()A．sinα＝sinβB．cosα＝cosβC．tanα＝tanβD．sinα＝－sinβ解析：法一：∵α、β终边关于y轴对称，∴α＋β＝π＋2kπ或α＋β＝－π＋2kπ，k∈Z，∴α＝2kπ＋π－β或α＝2kπ－π－β，k∈Z，∴sinα＝sinβ.法二：设角α终边上一点P(x，y)，则点P关于y轴对称的点为P′(－x，y)，且点P与点P′到原点的距离相等设为r，则sinα＝sinβ＝.答案：A2．已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是()A．{1，－1,2，－2}B．{－1,1}C．{2，－2}D．{1，－1,0,2，－2}解析：当k为偶数时，A＝＋＝2；k为奇数时，A＝－＝－2.答案：C3．已知tanx＝sin(x＋)，则sinx＝()A.B.C.D.解析：∵tanx＝sin(x＋)，∴tanx＝cosx，∴sinx＝cos2x，∴sin2x＋sinx－1＝0，解得sinx＝(或<－1，舍去)．答案：C4．已知α∈(，)，tan(α－7π)＝－，则sinα＋cosα的值为()A．±B．－C.D．－解析：tan(α－7π)＝tanα＝－，∴α∈(，π)，sinα＝，cosα＝－，∴sinα＋cosα＝－.答案：B5．已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx－β)，其中a、β、a、b均为非零实数，若f(2010)＝－1，则f(2011)等于()A．－1B．0C．1D．2解析：由诱导公式知f(2010)＝asinα＋bcosβ＝－1，∴f(2011)＝asin(π＋α)＋bcos(π－β)＝－(asinα＋bcosβ)＝1.用心爱心专心1答案：C6．已知＝1，则的值是()A．1B．2C．3D．6解析：∵＝＝＝tanθ＝1，∴＝＝＝＝1.答案：A二、填空题(3×5分＝15分)7．若cos(2π－α)＝，且α∈(－，0)，则sin(π－α)＝______.解析：cos(2π－α)＝cosα＝，又α∈(－，0)，故sin(π－α)＝sinα＝－＝－.答案：－8．(2011·东城质检)若sinθ＝－，tanθ>0，则cosθ＝________.解析：由sinθ＝－<0，tanθ>0知θ是第三象限角．故cosθ＝－.答案：－9．若点P(m，n)(m，n≠0)为角600°终边上一点，则等于________．解析：由三角函数的定义知＝tan600°＝tan(360°＋240°)＝tan240°＝tan60°＝，∴＝＝.答案：三、解答题(共37分)10．(12分)(2011·揭阳联考)已知sin(3π＋θ)＝，求＋的值．解析：∵sin(3π＋θ)＝－sinθ＝，∴sinθ＝－，∴原式＝＋＝＋＝＋＝＝＝＝18.11．(12分)(2011·菏泽模拟)已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝(<α<π)．求下列各式的值：(1)sinα－cosα；(2)sin3(－α)＋cos3(＋α)．解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，得sinα＋cosα＝.①将①式两边平方，得1＋2sinα·cosα＝，故2sinα·cosα＝－，又<α<π，∴sinα>0，cosα<0.∴sinα－cosα>0.(1)(sinα－cosα)2＝1－2sinα·cosα＝1－(－)＝，∴sinα－cosα＝.用心爱心专心2(2)sin3(－α)＋cos3(＋α)＝cos3α－sin3α＝(cosα－sinα)(cos2α＋cosα·sinα＋sin2α)＝(－)×(1－)＝－.12．(13分)(2011·丽水联考)是否存在角α，β，其中α∈(－，)，β∈(0，π)，使得等式sin(3π－α)＝cos(－β)，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解析：假设满足题设要求的α，β存在，则α，β满足①2＋②2，得sin2α＋3(1－sin2α)＝2，即sin2α＝，sinα＝±.∵－<α<，∴α＝或α＝－.(1)当α＝时，由②得cosβ＝，∵0<β<π，∴β＝.(2)当α＝－时，由②得cosβ＝，β＝，但不适合①式，故舍去．综上可知，存在α＝，β＝使两个等式同时成立．用心爱心专心3
