第四节基本不等式及其应用一、选择题(6×5分＝30分)1．(2009·天津高考)设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为()A．8B．4C．1D.解析：由题意知3a·3b＝3，即3a＋b＝3，所以a＋b＝1.因为a>0，b>0，所以＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时，等号成立．答案：B2．(2011·开封模拟)已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则＋的最小值是()A．2B．2C．4D．2解析：因为x>0，y>0，且lg2x＋lg8y＝lg2，所以x＋3y＝1，于是有＋＝(x＋3y)(＋)＝2＋(＋)≥4.答案：C3．函数f(x)＝的最大值为()A.B.C.D．1解析：显然x≥0.x＝0时，f(x)＝0；当x>0时，x＋1≥2，∴f(x)≤，当且仅当x＝1时，取等号，f(x)max＝.答案：B4．(2009·重庆高考)已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是()A．2B．2C．4D．5解析：＋＋2≥＋2≥2＝4.当且仅当时，等号成立，即a＝b＝1，不等式取最小值4.答案：C5．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．8B．6C．4D．2解析：(x＋y)(＋)＝1＋a·＋＋a≥a＋1＋2＝a＋2＋1，当且仅当a·＝等号成立，所以()2＋2＋1≥9，即()2＋2－8≥0，得≥2或≤－4(舍)，所以a≥4，即a的最小值为4.答案：C6．(2011·长春质检)某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称10g药品，他先将5g的砝码放在左盘，将药品放在右盘使之平衡；然后又将5g的砝码放在右盘，将药品放在左盘使之平衡，则此学生实际所得药品()A．小于10gB．大于10gC．大于等于10gD．小于等于10g解析：设左、右臂长分别为t1、t2，第一次称的药品为x1，第二次称的药品为x2，则有5t1＝用心爱心专心1x1t2，x2t1＝5t2，所以x1＋x2＝5(＋)>5×2＝10，即大于10g.答案：B二、填空题(3×5分＝15分)7．(2010·济宁模拟)函数y＝(x>－1)的图象的最低点坐标是________．解析：y＝(x＋1)＋≥2，当且仅当x＝0时，取等号．答案：(0,2)8．函数y＝ax－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在一次函数y＝mx＋n的图象上，其中m，n>0，则＋的最小值为________．解析：由题知A(1,1)，∴m＋n＝1，m，n>0.∴＋＝＋＝2＋＋≥4.答案：49．(2011·忻州模拟)设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则的最小值是________．解析：由x－2y＋3z＝0得y＝，代入得≥＝3，当且仅当x＝3z时取“＝”．答案：3三、解答题(共37分)10．(12分)经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系式为y＝(v>0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/小时)；(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？解析：(1)依题意，y＝≤＝，当且仅当v＝，即v＝40时，上式等号成立．所以ymax＝≈11.1(千辆/小时)．所以当v＝40千米/小时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时．(2)由条件得>10，整理得v2－89v＋1600<0，即(v－25)(v－64)<0，解得25－1，求函数y＝的最小值．用心爱心专心2(2)求y＝x(a－2x)(0－1，∴y＝＝＝(x＋1)＋＋5≥2＋5＝9.当且仅当x＋1＝，即x＝1时取等号．∴函数的最小值为9.(2) 00，∴y＝x(a－2x)＝·2x(a－2x)≤·()2＝.当且仅当2x＝a－2x，即x＝时取等号，∴当x＝时，函数的最大值为.12．(13分)(2011·南通模拟)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1和环...
