【创新设计】2016届高考数学一轮复习 专题探究课 导数问题中的热点题型 文 新人教A版 VIP专享VIP免费

热点一热点一热点一热点一利用导数解决函数的单调性热点二热点二热点二热点二利用导数求解函数的极值、最值热点三热点三热点三热点三构造函数法求解不等式恒成立问题热点一利用导数解决函数的单调性问题函数的单调性是函数在定义域内的局部性质，因此利用导数讨论函数的单调性时，要先研究函数的定义域，再利用导数f′(x)在定义域内的符号来判断函数的单调性．这类问题主要有两种考查方式：热点突破热点突破热点一利用导数解决函数的单调性问题解得x1＝－2－4(1－a)2＝－1－1－a，x2＝－1＋1－a.(6分)解f′(x)＝x2＋2x＋a，开口向上，Δ＝4－4a＝4(1－a)．(2分)①当1－a≤0，即a≥1时，f′(x)≥0恒成立，f(x)在R上单调递增．(4分)②当1－a＞0时，即a＜1时，令f′(x)＝0，令f′(x)＞0，解得x＜－1－1－a或x＞－1＋1－a；【例1】(12分)(2014·广东卷节选)已知函数f(x)＝13x3＋x2＋ax＋1(a∈R)，求函数f(x)的单调区间．令f′(x)＜0，解得－1－1－a＜x＜－1＋1－a；(8分)热点突破热点突破热点一利用导数解决函数的单调性问题当a＜1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－1－1－a)综上所述：当a≥1时，f(x)在R上单调递增；和(－1＋1－a，＋∞)，【例1】(12分)(2014·广东卷节选)已知函数f(x)＝13x3＋x2＋ax＋1(a∈R)，求函数f(x)的单调区间．f(x)的单调递减区间为(－1－1－a，－1＋1－a)．(12分)所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－1－1－a)和(－1＋1－a，＋∞)；f(x)的单调递减区间为(－1－1－a，－1＋1－a)．(10分)热点突破热点突破求函数f(x)的定义域(根据已知函数解析式确定)求函数f(x)的导数f′(x)根据参数分类讨论求解(令f′(x)＞0或令f′(x)＜0)第一步第二步第三步第四步下结论．第五步求含参函数f(x)的单调区间的一般步骤：热点一利用导数解决函数的单调性问题热点突破热点突破讨论含参函数的单调性，大多数情况下归结为对含有参数的不等式的解集的讨论，注意根据对应方程解的大小进行分类讨论．热点一利用导数解决函数的单调性问题热点突破热点突破f′(x)＝a－1x＋2ax＝2ax2＋a－1x.(1)当a≥1时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(2)当a≤0时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；(3)当0＜a＜1时，令f′(x)＝0，【训练1】已知函数f(x)＝(a－1)lnx＋ax2＋1，求函数f(x)的单调区间．解f(x)的定义域为(0，＋∞)，解得x＝1－a2a，则当x∈0，1－a2a时，f′(x)＜0；当x∈1－a2a，＋∞时，f′(x)＞0，故f(x)在0，1－a2a上单调递减，在1－a2a，＋∞上单调递增．热点一利用导数解决函数的单调性问题热点突破热点突破解(1)由f(x)＝x2＋2alnx，得f′(x)＝2x＋2ax，令h(x)＝x2＋ax－1，函数g(x)在[1，2]上是减函数等价于h(x)≤0在[1，2]上恒成立，而f′(2)＝4＋a＝2，解得a＝－2，(2)由题意知g(x)＝2x＋x2＋2alnx，则g′(x)＝2(x2＋ax－1)x2，只需满足h(1)≤0，h(2)≤0，解得a≤－32.故实数a的取值范围是－∞，－32.【例2】(2014·成都检测)已知函数f(x)＝x2＋2alnx(a≠0)．(1)若函数f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线斜率为2，求实数a的值；(2)若函数g(x)＝2x＋f(x)在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．热点一利用导数解决函数的单调性问题热点突破热点突破求解此类由函数单调性确定参数取值范围问题的关键在于根据函数的符号变化确定参数所满足的条件，函数在指定区间内不单调也就是导函数在指定区间内符号发生变化，此类问题的求解，一般是利用补集思想，先求函数在指定区间内单调时对应的参数取值范围，然后求解补集，也可根据导函数图象的特征列出对应的条件．热点一利用导数解决函数的单调性问题热点突破热点突破解(1)f′(x)＝exlnx＋ex·1x－aex＝(1x－a＋lnx)ex，若f(x)为单调递减函数，则f′(x)≤0，f′(1)＝(1－a)e，由(1－a)e·1e＝－1得a＝2.(2)由(1)知f′(x)＝(1x－a＋lnx)ex，即1x－a＋lnx≤0，所以a≥1x＋lnx．令g(x)＝1x＋lnx(x＞0)，【训练2】已知函数f(x)＝exlnx－aex(a≠0)．(1)若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－ey－1＝0垂直，求实数a的值；(2)若函数f(x)在区间(0,＋∞...