课时提升作业(四十八)双曲线一、选择题(每小题5分,共25分)1.设P是双曲线=1上一点,F1,F2分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于()A.1B.17C.1或17D.以上答案均不对【解析】选B.由双曲线定义||PF1|-|PF2||=8,又|PF1|=9,所以|PF2|=1或17,但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c-a=6-4=2>1,所以|PF2|=17.【误区警示】本题极易忽视双曲线的右顶点到右焦点距离的最小值为2>1,从而误选C.2.(2015·天水模拟)若双曲线=1的左焦点与抛物线y2=-8x的焦点重合,则m的值为()A.3B.4C.5D.6【解析】选A.因为双曲线=1的左焦点与抛物线y2=-8x的焦点重合,所以m+m-2=4,即m=3.【加固训练】与椭圆C:=1共焦点且过点(1,)的双曲线的标准方程为()A.x2-=1B.y2-2x2=1C.-=1D.-x2=1【解析】选C.椭圆=1的焦点坐标为(0,-2),(0,2),设双曲线的标准方程为=1(m>0,n>0),1则解得m=n=2,故选C.3.(2015·沈阳模拟)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M在双曲线的左支上,且|MF2|=7|MF1|,则此双曲线离心率的最大值为()A.B.C.2D.【解析】选A.因为|MF2|=7|MF1|,所以|MF2|-|MF1|=6|MF1|,即2a=6|MF1|≥6(c-a),故8a≥6c,即e=4.(2015·贵阳模拟)已知双曲线=1(a>0)的两条渐近线与以椭圆=1的左焦点为圆心,半径为的圆相切,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.【解析】选A.双曲线=1(a>0)的渐近线方程为y=±;椭圆=1的左焦点为(-4,0),因为渐近线与以椭圆=1的左焦点为圆心、半径为的圆相切,所以=,解得a=4,所以双曲线的离心率为.5.(2014·温州八校联考)设F1,F2是双曲线C:Error:Referencesourcenotfound-Error:Referencesourcenotfound=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为()2A.Error:ReferencesourcenotfoundB.Error:ReferencesourcenotfoundC.Error:ReferencesourcenotfoundD.Error:Referencesourcenotfound【解析】选C.不妨设P是双曲线右支上的一点,根据定义可得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a,又|F1F2|=2c,且c>a,所以△PF1F2的最小内角为∠PF1F2=30°,根据余弦定理可得cos∠PF1F2=Error:Referencesourcenotfound=Error:Referencesourcenotfound,又e=Error:Referencesourcenotfound,即c=ae代入化简可得e=Error:Referencesourcenotfound.【方法技巧】双曲线离心率的求解方法(1)直接法:利用已知条件直接求出a,c的值,再利用离心率公式直接求解.(2)利用渐近线方程:利用离心率与渐近线斜率之间的关系e=Error:Referencesourcenotfound求解.(3)利用关于a,c的齐次式:利用已知条件,寻找a与c的关系式,然后求解.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·成都模拟)已知圆x2+y2-4x-9=0与y轴的两个交点A,B都在某双曲线上,且A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,则此双曲线的标准方程为.【解析】易知圆与y轴的交点坐标为(0,3),(0,-3),因为圆x2+y2-4x-9=0与y轴的两个交点A,B都在某双曲线上,所以双曲线的焦点在y轴上,且a=3,又A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,所以c=9,所以b2=72,所以此双曲线的标准方程为=1.答案:=17.已知F是双曲线Error:Referencesourcenotfound-Error:Referencesourcenotfound=1的左焦点,P是双曲线右支上的动点,若A(1,4),则|PF|+|PA|的最小值是.【解析】因为A点在双曲线的两支之间,且双曲线右焦点为F′(4,0),于是由双曲线的定义得|PF|-|PF′|=2a=4.而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5.两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当A,P,F′三点共线时,等号成立.答案:9【方法技巧】与双曲线有关的最值问题的求法3与双曲线有关的最值问题,经常借助于双曲线的定义,将表达式转化为线段之和求最值,然后再借助于平面几何的性质求解.8.过已知双曲线=1(b>0)的左焦点F1作☉O:x2+y2=4的两条切线,记切点为A,B,双曲线的左顶点为C,若∠ACB=120°,则双曲线的离心率为.【解析】如图,因为∠OCA=60°,|OC|=|OA|=2,所以∠AOC=60°,∠AF1C=30°,所以e==2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.过双曲线=1的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,F1为左焦点.(1)求|AB|.(2)求△AOB的面积.【解析】(1)由双曲线的方程得a=,b=,所以c==3,F1(-3,0),F2(3,0).直线AB的方...
