课时提升作业(四十五)圆的方程一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知一圆的圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上,则此圆的方程是()A.(x-2)2+(y+3)2=13B.(x+2)2+(y-3)2=13C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=52【解析】选A.因为圆心(2,-3)是直径的中点,所以此直径的两个端点坐标分别为(4,0),(0,-6),所以半径长r=所以所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=13.2.(2015·天津模拟)已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积,则取最大面积时,该圆的圆心的坐标为()A.(-1,1)B.(-1,0)C.(1,-1)D.(0,-1)【解析】选D.由x2+y2+kx+2y+k2=0知所表示圆的半径r=当k=0时,rmax==1,此时圆的方程为x2+y2+2y=0,即x2+(y+1)2=1,所以圆心为(0,-1).3.若圆x2+y2-2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形,则a-b的取值范围是()A.(-∞,4)B.(-∞,0)C.(-4,+∞)D.(4,+∞)【解析】选A.将圆的方程变形为(x-1)2+(y+3)2=10-5a,可知,圆心为(1,-3),且10-5a>0,即a<2.因为圆关于直线y=x+2b对称,所以圆心在直线y=x+2b上,即-3=1+2b,解得b=-2,所以a-b<4.【方法技巧】两种对称问题的解决方法(1)点(a,b)关于直线y=x+m的对称点坐标为(b-m,a+m).(2)点(a,b)关于直线y=-x+m的对称点坐标为(-b+m,-a+m).4.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面1积等于()A.πB.4πC.8πD.9π【解析】选B.设P(x,y),由题意有,(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],整理得x2-4x+y2=0,配方得(x-2)2+y2=4.可知圆的面积为4π.【加固训练】如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A,B是圆上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.【解析】设AB的中点为R,坐标为(x1,y1),连接OR,PR,则在Rt△ABP中,|AR|=|PR|.又R是弦AB的中点,所以在Rt△OAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(Error:Referencesourcenotfound+Error:Referencesourcenotfound),又|AR|=|PR|=Error:Referencesourcenotfound,所以有(x1-4)2+Error:Referencesourcenotfound=36-(Error:Referencesourcenotfound+Error:Referencesourcenotfound),即Error:Referencesourcenotfound+Error:Referencesourcenotfound-4x1-10=0.因此点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时,点Q即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y),因为R是PQ的中点,所以x1=,y1=,代入方程Error:Referencesourcenotfound+Error:Referencesourcenotfound-4x1-10=0,得整理得:x2+y2=56,即所求Q点的轨迹方程为x2+y2=56.5.已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆C:x2+y2-2y=0上的动点,则△ABP面积的最小值为()A.6B.Error:ReferencesourcenotfoundC.8D.Error:Referencesourcenotfound2【解题提示】经验证可知A,B两点均在圆C的外部,因此要使△ABP的面积最小,则P到直线AB的距离最小.【解析】选B.如图,过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P,这时△ABP的面积最小.直线AB的方程为Error:Referencesourcenotfound+Error:Referencesourcenotfound=1,即3x-4y-12=0,圆心C到直线AB的距离为d=Error:Referencesourcenotfound=Error:Referencesourcenotfound,所以△ABP的面积的最小值为Error:Referencesourcenotfound×5×(Error:Referencesourcenotfound-1)=Error:Referencesourcenotfound.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·泰州模拟)若过点P(a,a)可作圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的两条切线,则实数a的取值范围是.【解析】圆的方程可化为(x-a)2+y2=3-2a,因为过点P(a,a)能作圆的两条切线,所以点P在圆的外部,即解之得a<-3或1
0,b>0),由题意可得b=1.又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1,解得a=2或a=-(舍去).所以该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.答案:(x-2)2+(y-1)2=18.(2015·聊城模拟)已知...
