课时提升作业(四十七)椭圆一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知椭圆与双曲线=1的焦点相同,且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,那么椭圆的离心率等于()A.B.C.D.【解析】选B.因为双曲线的焦点在x轴上,所以设椭圆的方程为=1(a>b>0),因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,所以根据椭圆的定义可得2a=10⇒a=5,则c==4,e=选B.2.(2015·烟台模拟)一个椭圆中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选A.设椭圆的标准方程为=1(a>b>0).由点P(2,)在椭圆上知=1.又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即2a=2×2c,又c2=a2-b2,联立得a2=8,b2=6.【加固训练】已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()1A.-=1B.+=1C.-=1D.+=1【解析】选D.设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16,所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,故所求的轨迹方程为+=1.3.设椭圆C:Error:Referencesourcenotfound+Error:Referencesourcenotfound=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为()A.Error:ReferencesourcenotfoundB.Error:ReferencesourcenotfoundC.Error:ReferencesourcenotfoundD.Error:Referencesourcenotfound【解析】选D.在Rt△PF1F2中,令|PF2|=1,因为∠PF1F2=30°,所以|PF1|=2,|F1F2|=Error:Referencesourcenotfound.所以e=Error:Referencesourcenotfound=Error:Referencesourcenotfound=Error:Referencesourcenotfound.故选D.4.(2015·聊城模拟)椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上的一点,l:x=,且PQ⊥l,垂足为Q,若四边形PQF1F2为平行四边形,则椭圆的离心率的取值范围是()A.(,1)B.(0,)C.(0,)D.(,1)【解析】选A.设点P(x1,y1),由于PQ⊥l,故|PQ|=x1+,因为四边形PQF1F2为平行四边形,所以2|PQ|=|F1F2|=2c,即x1+=2c,则有x1=2c->-a,所以2c2+ac-a2>0,即2e2+e-1>0,解得e<-1或e>,由于0
b>0)的左右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰有8个不同的点P,使得△F1F2P为直角三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是()A.(0,)B.(0,]C.(,1)D.[,1)【解析】选C.由题意,问题等价于椭圆上存在四个点P使得直线PF1与直线PF2垂直,所以|OP|=c>b,即c2>a2-c2,所以ab>0)的左、右焦点F1,F2所作的两条互相垂直的直线l1,l2的交点在此椭圆的内部,则此椭圆的离心率的取值范围是.【解题提示】关键是由l1,l2的交点在此椭圆的内部,得到a,b,c间的关系,进而求得离心率e的取值范围.【解析】由已知得交点P在以F1F2为直径的圆x2+y2=c2上.又点P在椭圆内部,所以有c2b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,则C的离心率为.4【解题提示】利用余弦定理确定|AF|,进而判定△ABF的形状,然后利用椭圆定义及直角三角形性质确定离心率.【解析】如图,设|AF|=x,则cos∠ABF=解得x=6(负值...
