第八讲比和比例关系比和比例,是小学数学中的最后一个内容,也是学习更多数学知识的重要基础.有了“比”这个概念和表达方式,处理倍数、分数等问题,要方便灵活得多.我们希望,小学同学学完这一讲,对“除法、分数、比例实质上是一回事,但各有用处”有所理解.这一讲分三个内容:一、比和比的分配;二、倍数的变化;三、有比例关系的其他问题.8.1比和比的分配最基本的比例问题是求比或比值.从已知一些比或者其他数量关系,求出新的比.例1甲、乙两个长方形,它们的周长相等.甲的长与宽之比是3∶2,乙的长与宽之比是7∶5.求甲与乙的面积之比.解:设甲的周长是2.甲与乙的面积之比是答:甲与乙的面积之比是864∶875.作为答数,求出的比最好都写成整数.例2如右图,ABCD是一个梯形,E是AD的中点,直线CE把梯形分成甲、乙两部分,它们的面积之比是10∶7.求上底AB与下底CD的长度之比.解:因为E是中点,三角形CDE与三角形CEA面积相等.三角形ADC与三角形ABC高相等,它们的底边的比AB∶CD=三角形ABC的面积∶三角形ADC的面积=(10-7)∶(7×2)=3∶14.答:AB∶CD=3∶14.两数之比,可以看作一个分数,处理时与分数计算几乎一样.三数之比,却与分数不一样,因此是这一节讲述的重点.例3大、中、小三种杯子,2大杯相当于5中杯,3中杯相当于4小杯.如果记号表示2大杯、3中杯、4小杯容量之和,求与之比.解:大杯与中杯容量之比是5∶2=10∶4,中杯与小杯容量之比是4∶3,大杯、中杯与小杯容量之比是10∶4∶3.∶=(10×2+4×3+3×4)∶(10×5+4×4+3×3)=44∶75.答:两者容量之比是44∶75.把5∶2与4∶3这两个比合在一起,成为三样东西之比10∶4∶3,称为连比.例3中已告诉你连比的方法,再举一个更一般的例子.甲∶乙=3∶5,乙∶丙=7∶4,3∶5=3×7∶5×7=21∶35,7∶4=7×5∶4×5=35∶20,甲∶乙∶丙=21∶35∶20.花了多少钱?解:根据比例与乘法的关系,连比后是甲∶乙∶丙=2×16∶3×16∶3×2=32∶48∶63.答:甲、乙、丙三人共花了429元.例5有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子,甲与乙,而它们留在墙外的部分一样长.问:甲、乙、丙的长度之比是多少?解:设甲的长度是6份.∶x=5∶4.乙与丙的长度之比是而甲与乙的长度之比是6∶5=30∶25.甲∶乙∶丙=30∶25∶26.答:甲、乙、丙的长度之比是30∶25∶26.于利用已知条件6∶5,使大部分计算都整数化.这是解比例和分数问题的常用手段.例6甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果,在每种糖果上所花钱数一样多,问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元?解一:设每种糖果所花钱数为1,因此平均价是答:这些糖果每千克平均价是27.5元.上面解法中,算式很容易列出,但计算却使人感到不易.最好的计算方法是,用22,30,33的最小公倍数330,乘这个繁分数的分子与分母,就有:事实上,有稍简捷的解题思路.解二:先求出这三种糖果所买数量之比.不妨设,所花钱数是330,立即可求出,所买数量之比是甲∶乙∶丙=15∶11∶10.平均数是(15+11+10)÷3=12.单价33元的可买10份,要买12份,单价是下面我们转向求比的另一问题,即“比的分配”问题,当一个数量被分成若干个数量,如果知道这些数量之比,我们就能求出这些数量.例7一个分数,分子与分母之和是100.如果分子加23,分母加32,解:新的分数,分子与分母之和是(10+23+32),而分子与分母之比2∶3.因此例8加工一个零件,甲需3分钟,乙需3.5分钟,丙需4分钟,现有1825个零件要加工,为尽早完成任务,甲、乙、丙应各加工多少个?所需时间是多少?解:三人同时加工,并且同一时间完成任务,所用时间最少,要同时完成,应根据工作效率之比,按比例分配工作量.三人工作效率之比是他们分别需要完成的工作量是所需时间是700×3=2100分钟)=35小时.答:甲、乙、丙分别完成700个,600个,525个零件,需要35小时.这是三个数量按比例分配的典型例题.例9某团体有100名会员,男会员与女会员的人数之比是14∶11,会员分成三个组,甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多.各组男会员与女会员人数之比是:甲:12∶13,乙:5∶3,丙:2∶1,那么丙有多少名男会员?解:甲组的人数是100÷2=50(人).乙、丙两组...