高中数学必修高中数学必修11高中数学必修高中数学必修11复习回顾与情境创设：说出下列函数的单调性：xyO在(0，＋)上是增函数．在(－，0)上是减函数；y＝f(x)我们从这两个函数的图象上除看到了单调性，还能看到什么性质吗？如何用数学语言来刻画这一几何性质呢？xyOy＝f(x)(1)f(x)＝x2－2(2)f(x)＝1x在(0，＋)上也是减函数．在(－，0)上是减函数；数学建构：二次函数f(x)＝x2－2的图象关于y轴对称．xyOf(x)上任一点(x，y)关于y轴的对称点(－x，y)也在函数图象上．用数学语言刻画就是有f(－x)=f(x)．(x，y)(－x，y)y＝f(x)反过来，若函数y＝f(x)对于定义域内任一实数x，都有f(－x)=f(x)，函数的图象具有什么性质呢？f(－x)＝f(x)恒成立函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．反比例函数f(x)＝的图象关于原点对称．xyOf(x)上任一点(x，y)关于原点的对称点(－x，－y)也在函数图象上．用数学语言刻画就是有f(－x)=－f(x)．(x，y)(－x，－y)y＝f(x)反过来，若函数y＝f(x)对于定义域内任一实数x，都有f(－x)=－f(x)，函数的图象具有什么性质呢？f(－x)＝－f(x)恒成立函数y＝f(x)的图象关于原点对称．数学建构：1x已知函数f(x)的定义域为A，若对任意的xA，都有f(－x)=－f(x)，则称函数f(x)为奇函数．奇函数的图象关于原点对称．偶函数的图象关于y轴对称．如果对任意的xA，都有f(－x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数．数学建构：如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性．反之则说函数不具有奇偶性．例1．判断函数f(x)＝x3＋5x的奇偶性．数学应用：对于定义在R上的函数f(x)，下列判断是否正确：(1)若f(2)＝f(－2)，则f(x)是偶函数(2)若f(2)≠f(－2)，则f(x)不是偶函数(3)若f(2)＝f(－2)，则f(x)不是奇函数对于f(x)=x2－2x－1，f(1)=－2，f(－1)=2，显然有f(－1)=－f(1)，函数是奇函数吗？数学应用：例2．判定下列函数是否为偶函数或奇函数：(1)f(x)＝x3－x；(2)f(x)＝2x；(3)f(x)＝2|x|；(4)f(x)＝x－1x[－1，3]练习：判断下列函数的奇偶性：1．f(x)＝x＋1x2．f(x)＝x2＋x3．f(x)＝2x3．f(x)＝||xx小结：判断函数具有奇偶性用定义，而判定函数不具有奇偶性只需看定义域或举反例．数学应用：xyO已知奇函数f(x)在y轴右边的图象如图所示，请你画出左边的图象．如果f(x)是偶函数呢？数学应用：xyO设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，当x[0，5]时，f(x)的图象如图所示，试写出不等式f(x)＜0的解集．如果f(x)是偶函数呢？52数学应用：xyOx0xyO22上面两个图象也具有对称性，所对应的函数具有奇偶性吗？xyO下面两幅呢？xyO数学应用：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数的条件是．一次函数y＝kx＋b(k≠0)是奇函数的条件是．b＝0b＝0函数y＝f(x)的奇偶性，是函数的本质属性，可看作是将对称性特殊化．奇函数是中心对称的特殊形式，偶函数则是轴对称的特殊形式．数学应用：例3．判断函数f(x)＝x2＋2x，x≤0，x2－2x，x＞0的奇偶性．变式：判断函数f(x)＝x2－x－1，x＜0x2＋x－1，x＞0的奇偶性．小结：分段函数奇偶性的判断：先画出图象，结合图象给出奇偶性的结论，再利用定义分段证明．注：若数字0在定义域内，不能忽略讨论，且对于奇函数f(x)，若0在定义域内，则必有结论f(0)＝0数学应用：例4．已知函数f(x)＝x5＋2ax3＋3bx－2，若f(－2)＝3，求f(2)的值．小结：1．利用规律f(－x)＋f(x)等于常数项的2倍解题．2．一个定义域关于数0对称的函数，总可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和．变式：若函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，且f(x)＋g(x)＝1x2－x＋1，求f(x)与g(x)的解析式．数学应用：1．定义域内．2．任意一个x．3．都有f(－x)=f(x)f(－x)=－f(x)偶函数奇函数有理函数不含有奇次幂项不含有偶次幂项4．判定具有奇偶性判定不具有奇偶性用定义看定义域举反例小结：作业：思考下列函数的奇偶性：xx－＋11P44第5，6题．(3)f(x)＝(x－1)·22(1)1xx＋－(4)f(x)＝(x－1)·(1)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|212|2|xx---(5)f(x)＝
