相似三角形解题方法【基本图形】两个三角形相似的六种图形:只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形,并能根据问题需要舔加适当的辅助线,构造出基本图形,从而使问题得以解决.【方法精讲】一、、“三点定形法”例1、已知:如图,ΔABC中,CEAB,BFAC.⊥⊥求证:AEAF=ACBA(判断“横定”还是“竖定”?)例2、如图,CD是RtABC△的斜边AB上的高,∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F,AC·AE=AF·AB吗?说明理由。分析方法:1)先将积式______________2)______________(“横定”还是“竖定”?)练习1、已知:如图,△ABC中,∠ACB=900,AB的垂直平分线交AB于D,交BC延长线于F。求证:CD2=DE·DF。第1页共4页二、过渡法(或叫代换法)有些习题无论如何也构造不出相似三角形,这就要考虑灵活地运用“过渡”,其主要类型有三种,下面分情况说明.1、等量过渡法(等线段代换法)例1:如图3,△ABC中,AD平分∠BAC,AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E.求证:DE2=BE·CE.2、等比过渡法(等比代换法)当用三点定形法不能确定三角形,同时也无等线段代换时,可以考虑用等比代换法,即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥,也就是通过对已知条件或图形的深入分析,找到与求证的结论中某个比相等的比,并进行代换,然后再用三点定形法来确定三角形。例2:如图4,在△ABC中,∠BAC=90°,ADBC⊥,E是AC的中点,ED交AB的延长线于点F.求证:.3、等积过渡法(等积代换法)思考问题的基本途径是:用三点定形法确定两个三角形,然后通过三角形相似推出线段成比例;若三点定形法不能确定两个相似三角形,则考虑用等量(线段)代换,或用等比代换,然后再用三点定形法确定相似三角形,若以上三种方法行不通时,则考虑用等积代换法。例3:如图5,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,G是DC延长线上一点,过B作BEAG⊥,垂足为E,交CD于点F.求证:CD2=DF·DG.小结:证明等积式思路口诀:“遇等积,化比例:横找竖找定相似;第2页共4页不相似,不用急:等线等比来代替。”【同类练习】1.如图,点D、E分别在边AB、AC上,且∠ADE=C∠。求证:(1)△ADEACB;∽△(2)AD·AB=AE·AC.(1题图)2.如图,△ABC中,点DE在边BC上,且△ADE是等边三角形,∠BAC=120°求证:(1)△ADBCEA;∽△(2)DE²=BD·CE;(3)AB·AC=AD·BC.3.如图,平行四边形ABCD中,E为BA延长线上一点,∠D=ECA.∠求证:AD·EC=AC·EB.(此题为陷阱题,应注意条件中唯一的角相等,考虑平行四边形对边相等,用等线替代思想解决)4.如图,AD为△ABC中∠BAC的平分线,EF是AD的垂直平分线。求证:FD²=FC·FB。(此题四点共线,应积极寻找条件,等线替代,转化为证三角形相似。)5.如图,E是平行四边形的边DA延长线上一点,EC交AB于点G,交BD于点F,求证:FC²=FG·EF.(此题再次出现四点共线,等线替代无法进行,可以考虑等比替代。)第3页共4页6.如图,E是正方形ABCD边BC延长线上一点,连接AE交CD于F,过F作FMBE∥交DE于M.求证:FM=CF.(注:等线替代和等比替代的思想不局限于证明等积式,也可应用于线段相等的证明。此题用等比替代可以解决。)7.如图,△ABC中,AB=AC,点D为BC边中点,CEAB,BE∥分别交AD、AC于点F、G,连接FC.求证:(1)BF=CF.(2)BF²=FG·FE.(练习题图)8.如图,∠ABC=90°,AD=DB,DEAB,⊥求证:DC²=DE·DF.9.如图,ABCD为直角梯形,ABCD,ABBC,ACBD∥⊥⊥。AD=BD,过E作EFAB∥交AD于F.是说明:(1)AF=BE;(2)AF²=AE·EC.10.△ABC中,BAC=90°,ADBC,E∠⊥为AC中点。求证:AB:AC=DF:AF。第4页共4页