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定理10设函数f(x)在I可导。函数f(x)在区间I是凸函数,且,有。推论若函数f(x)在区间I上存在二阶导数,且(1),有,则函数f(x)在区间I严凸。(2),有,则函数f(x)在区间I严凹。定理11(詹生不等式)若函数f(x)在区间I是凸,则有不等式其中且。利用拉格朗日重要不等式证明不等式例33(101页)证明:若函数在闭区间[a,b]满足拉格朗日定理,且在[a,b]上单调增加(减少),则()其中a=,(i=0,1,2,···,n),(此不等式称为拉格朗日重要不等式)证明已知函数在闭区间[a,b]满足拉格朗日定理,则在(i=0,1,2,···,n-1)上也满足拉格朗日定理,有(i=0,1,2,···,n-1)又已知在[a,b]上单调增加,则在(i=0,1,2,···,n-1)上也单调增加,从而或(i=0,1,2,···,n-1)于是1即类似可证,为单调减少的情形利用凸凹函数证明不等式例38(105页)证明:当(i=0,1,2,····,n)时,有不等式(调和平均数)(几何平均数)(算术平均数)证明分别证明两个不等式,首先证明右端不等式。设,,0,根据定理10推论知,f(x)在内为凸函数,由詹生不等式,令,有或即。其次证明左端不等式,只须令,有,或,即2综上所证有。例42(107页)证明:当且时,有不等式。证明设,故f(x)在上是凸函数,由詹生不等式,有,即。若用代替,两边开次方,有若令,有如果用分别代表n个正数的调和平均值,几何平均值,算术平均值和平方平均值,即,,。则。例43(108页)证明:,有不等式3证明设根据定理10推论知,f(x)在R上为凸函数,由詹生不等式,,有。当n=2时,有(高中代数习题)例44(108页)证明:当,且时,有不等式证明设则根据定理10推论知,f(x)在R上为凸函数,有詹生不等式,有,即于是注欲证故,设函数为,。例55(赫尔德不等式)(114页)已知且求证:4其中。证明有题设条件,则。设则,根据定理10推论知,f(x)在内为凸函数,由詹生不等式,有即或于是,(*)若令,则且则(*)式为若令,且与分别用与代替,则(*)式为5或这就是常见的赫尔德不等式形式。例69(122页)证明:当时,有不等式。证明设令,即,解得驻点,且,有,有,知函数在点取极小值,其极小值为由于在上连续,且只有一个极小点,因此这个极小点就是最小点,则,有。令,于是,即例73(124页)证明:,且有不等式证明设,且,,有,故函数在(-1,0)内严格减少;,有,故函数f(x)在内严格增加,显然f(x)在点x=0连续。有或即例75(125页)证明不等式6(杨格不等式,英国数学家)其中。证明设,则令,即解得唯一一个驻点,且,有,有。知,函数在点x=1取极大值,其极大值为由于f(x在)上连续,且只有一个驻点,因此这个极大值点就是最大点,则,有。令即例78(127页)证明:(1)证明7于是函数即(1)式得证。特别,若在(1)式中,(2)若在(2)式中,若在(1)中,令,若在(1)中,令。8利用柯西不等式证明不等式例79(128页)称此不等式为赫尔德不等式。证明设代入例75的不等式中,有,将即特别是,当称为柯西---施瓦兹不等式。例81(129页)已知证明例83(130页)已知9证明例89(131页)证明(一)。于是,。(二)例14(156页)证明:10证明设(1)(2)只须证明用反证法,假设则(3)同理(4)由(3)与(4)得或,从而例18(159页)证明:(1)。(2)证明,对上式两端求导,得令,则令,则。应用例题例1(162页)分解因式解将对上式求原函数,有11从而令于是,。例2(163页)分解因式解,对上式求原函数,有从而。令于是,12例1(170页)计算解令対上式求原函数,有则从而即原式=。例2(171页)证明:。证明设是星型线上任一点,将星型线方程对求导,得过点M的切线方程为于是,二坐标轴所截线段长为例3(171页)已知,求13解不失一般性,令则(*)将,或则故函数取于是,为所求的最小值。例2(188页)解方程解将方程变形为而4,均是R上的函数,且,函数同解,解此方程,得。14例13(195页)解下列方程:解(1)由于设显然,故。解此方程得,代入原方程验证即为原方程的根。(2)由于设现然,故函数或同解。解此方程得,代入原方程验证即为原方程的根。弦位法(206页~211页)如下图,将上的曲线弧AB的两端...

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