27.227.2相似三角形相似三角形((第第11课时课时))在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，我们就说△ABC与△A'B'C'相似，''''''ABBCCAkABBCCA如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？ABCA'B'C'△ABC≌△A'B'C'记作△ABC∽△A'B'C'．k就是它们的相似比．学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相等．对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS、SAS、ASA、AAS）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是对所有的对应角和对应边都要一一验证呢？类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判断两个三角形相似呢？不需要能如图，任意画两条直线l1，l2，在华三条直线与l1，l2相交的平行线l3，l4，l5，分别度量l3，l4，l5，在l1上截得的两条线段AB，BC在l2上截得两条线段DE，EF的长度，AB和BC的比与DE和EF的比相等吗？任意平移l5，再度量AB，BC，DE，EF的长度，AB和BC的比与DE和EF的比相等吗？探究EDCBAl1Fl5l4l3l2证明过程留给同学们课后有兴趣的自己实践一下.这里就不加讲解了.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等.把这个定理应用到三角形中，会出现下面两种情况.ADECBDEA(2)CB(1)通过上面两种情况的推理我们可以得到平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等.用这个结论可以证明三角形中对应线段的比相等.如图，在△ABC中，点D是边AB的中点，DEBC∥，DE交AC于点E，△ADE与△ABC有什么关系？ABCDE我们通过相似的定义证明这个结论．直觉告诉我们，△ADE与△ABC相似．这样，我们证明了△ADE和△ABC的对应角相等，对应边的比相等，所以它们相似，相似比为先证明两个三角形的对应角相等．在△ADE与△ABC中，∠A＝∠A∵DE∥BC∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C再证明两个三角形的对应边的比相等．过点E作EF∥AB，EF交BC于点F．在BFED中，DE＝BF，DB＝EF∵AD＝BD＝AB∴AD＝EF又∠A＝∠1，∠2＝∠C∴△ADE≌△EFC∴AE＝EC＝ACDE＝FC＝BF＝BC12121212ABCDEF12ABCDE改变点D在AB上的位置，继续观察图形，进一步想△ADE与△ABC是否存在着相似关系．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．证明：过点E作EF//AB，交BC于点F∵DE//BC,DF//ABADAEFBECABACBCAC，（平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例）∵四边形DEFB是平行四边形，DEFBDEADBCABADAEDEABACBCF探究任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与邻座交流一下，看看是否有同样的结论．如图，在△ABC和△A'B'C'中，求证：△ABC∽△A'B'C'''''''ABBCCAABBCCA==这两个三角形是相似的.证明：在线段A'B'（或它的延长线）上截取A'D＝AB，过点D作DE∥B'C'，交A'C'于点E，根据前面的结论可得△A'DE∽△A'B'C'''''''''CAEACBDEBADAABDACAACCBBCBAAB','''''''''''CAACCAEAACEA'同理DE＝BC∴△A'DE≌△ABC∴△ABC∽△A'B'C'A'B'C'DEABC要证明△ABC∽△A'B'C'，可以先作一个与△ABC全等的三角形，证明它与△A'B'C'相似，这里所作的三角形是证明的中介，把△ABC与△A'B'C'联系起来由此我们得到利用三边判定三角形相似的方法：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．A'B'C'ABC''''''ABBCCAkABBCCA△ABC∽△A'B'C'课后思考•类似于判定三角形全等的SAS方法，我们能不能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？
