导数的几何意义VIP专享VIP免费

1.1.3导数的几何意义旧知回顾1.平均变化率0已知函数y=f(x)在点x=x及其附近有定义00叫做函数y=f(x)在x到x+Δx之间的平均变化率.00f(x+Δx)-f(x)Δy当Δx≠0时,比值=ΔxΔx00f(x+Δx)-f(x)当Δx趋近于0时，平均变化率Δx2.瞬时变化率趋近于一个常数，这个常数称为函数在点的瞬时变化率fx0x'000Δx→0f(x+Δx)-f(x)故f(x)=limΔx00函数在x=x的瞬时变化率，就f(x)在x=x处的导数是0''0x=x记作fx或y3.导数的定义（1）求函数的增量00Δy=f(x+Δx)-f(x).00f(x+Δx)-f(x)Δy=.ΔxΔx（2）求平均变化率0Δx0Δyf(x)=lim.Δx（3）取极限，求得导数求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:0l1l2lthO0t1t2t311.图新课导入βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy请问：Δy是割线PQ的什么?Δx我们知道，导数表示函数f(x)在处的瞬时变化率，反映了函数f(x)在附近的变化情况.那么导数的几何意义是什么呢？0fx′0fx′0x=x0x=xP1P2P3P4PTTTTPPxfyxfyxfyxfyOyxOyxOyxOyx21.3图1234当点Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？oxyy=f(x)PPn割线T切线观察切线概念切线概念切线概念切线概念.nn0n0PPfx-fxk=x-x线割的斜率是我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线000Δx0fx+Δx-fxk=lim=fx.Δx′当点无限趋近于点p时，无限趋近于切线PT的斜率.因此，函数f(x)在处的导数就是切线PT的斜率k.即nPk0x=x几何意义告诉我们:①切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数；②求曲线上某点切线的斜率的一种方法几何意义例1:求抛物线f(x)=x2在点P(1,1)处的切线的斜率.过点线解:(1,1)切的斜率是'Δx→02Δx→02Δx→0f(1+Δx)-f(1)（f1）=limΔx(1+Δx)-1=limΔx2Δx+(Δx)=limΔx=2物抛线点处线为2因此，fx=x在P1，1的切斜率2.2yxyxo1,1P例题讲解切线方程？变式:求抛物线f(x)=x2在x=2处的切线方程.例2:求双曲线过点的切线方程。1y=x12,2：Δx→0Δx→011-f2+Δx-f22+Δx2解因为lim=limΔxΔxΔx→011=lim-=-22+Δx411所以，这条双曲线过点2，的切线的斜率为-.2411由直线方程的点斜式，得切线方程为y-=-x-2,241即y=-x+1.4yo●xyo1P2,2练习1:如图已知曲线,求:(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.)38,2(313Pxy上一点yx-2-112-2-11234OP313yx222126126=4333x=2Δx0Δx023Δx0Δx011(+Δx)-Δy33y|=lim=limΔxΔxΔx+(Δx)+(Δx)=lim3Δx+(Δx)+(Δx)=lim31(1)y=x,3解：即点P处的切线的斜率等于4.（2）在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2)，即12x-3y-16=0..：25例3求抛物线y=x的过点，6切线方程2的200解：设此切线过抛物线上的点x,x.00由导数的几何意义知此切线的斜率为fx=2x.2005又因为此切线过点，6和点x,x,22000x-6其斜率满足=2x,5x-22000x-5x+6=0,解得x=23或2即切线过抛物线y=x上的点2，4，3，9.所以切线方程分别为：y-4=4x-2,y-9=6x-3.化简得y=4x-4,y=6x-9.2yxyxo5,62P2,43,9200,xx.217求抛物线y=x的过点4,的切线方程44（注意此点不在抛物线上）7177解：切线方程为y-=x-4或y-=x-44242练习2:（作业）即：切线方程为2x-4y-1=0或14x-4y-49=0求过某点P的曲线的切线方程的步骤：小结:（1）判断点P是否在曲线上。（2）若点P在曲线上，由导数几何意义求斜率。（3）若点P不在曲线上，设出切点坐标，利用切线斜率表达式，求出切点的坐标和斜率。代入点斜式，求出切线的方程。课堂小结000Δx→0f(x+Δx)-f(x)k=f(x)=limΔx1.几何意义f(x)在处的导数即为f(x)所表示曲线在处切线的斜率，即0x=x0f(x)0x=x000y-f(x)=f(x)(x-x)0确定x=x处切线的斜率，从而确定切线的方程.切线方程：作用：