随机过程的定义VIP免费

例1．(随机徘徊)无限制地抛掷一枚硬币，并按照每次抛掷结果是正面或反面，让一个粒子从初始位置0点出发，在直线上分别向右或向左走一步。问：抛掷了n次后，粒子恰走到m的概率。事实上，由于粒子是从初始位置0点出发的，因此，当n＜|m|时，粒子是不可能走到m的，而“抛掷了n次后，粒子恰走到m”意味着：在n次走动中，恰好向左走了步；而向右走了步．此即n次抛掷中恰有次掷得正面；有次掷得反面．因此，这就需要m与n同为奇偶数。所求概率为(当n≥|m|且m与n同为奇偶数时)，否则概率为0。综上所述，研究一个随机试验，就是要有一个三元组：(Ω，F，P)，它称为概率空间，其中Ω是全体可能结果组成的集合；F是全体可观测事件(可以合理地给出概率的事件)组成的事件族；而P应该看成一个整体，而不是单个概率值，即P是F上定义的一个取值于[0，1]区间的函数。同时，加法公理应该满足，而且必然事件的概率应该为1。随机过程的定义：研究对象是随时间演变的随机现象。例1．随机相位正弦波X(t)=Acos(ωt+Θ)，t∈(－∞，+∞)；Θ～U(0，2π)图1例2．以X(t)表示电话交换台在时间间隔[0，t]内接到的呼叫的次数，是一随机过程。例3．独立地连续掷一骰子，设为第n次独立地掷一骰子所出现的点数，则｛｝为一相互独立同分布的随机序列(过程)，其指标集为T＝｛1，2，3，…｝；状态空间为S＝｛1，2，3，4，5，6｝；如果把序列｛3，2，3，4，6，5，l，3，…｝称为的一条轨道，它表示第1，3，8次掷得“3”点，第2次掷得“2”点，第4次掷得“4”点，第5次掷得“6”点，…．且此时有均值为E＝3.5，方差为D()＝17.5，n＝1，2，…，协方差为Cov(，)＝0，i≠j．定义1设(Ω，F，P)是一个概率空间，一族随机变量称为一个随机过程，其中T称为指标集，对T中的每个t，X(t)是一个随机变量X(t，ω)，对每个固定的ω，是一个定义在T上，和X(t)有同样取值范围的实值函数，称之为随机过程X的一条(样本)轨道．对所有固定的t，X(t)的全体可能的取值，称为X的状态空间，对离散随机变量的随机过程，状态空间都可认为是正整数集，因为任何可数集与一正整数集是一一对应的．把全体状态编号，以其编号代表状态就行了。我们常常把t解释为时间．一般来说，T是一个无限集合，如果它是可数集合，如T＝｛0，1，2，…｝，此时称X为离散参数的随机过程，或随机序列，当T＝[0，+∞)或(－∞，+∞)则称X为连续参数的随机过程。X的全体有限维联合分布族称为X的概率分布。例4．在上例中，如果根据每次掷得的点数决定一个粒子在平面格点上作如下运动：如果掷得l，2，3，4点，则分别向上、下、左、右移动1步，如果掷得“5”或“6”，点，则不动。如果粒子从原点(0，0)出发，记在第n步粒子所在位置为(X(n)，y(n))，则我们就得到两个随机过程｛X(n)；n＝0，l，…｝以及｛Y(n)；n＝0，l，…｝．这个随机模型称为2-维随机徘徊。例5无限制地抛掷一枚硬币，并按照每次抛掷结果是正面或反面，让一个粒子在直线上分别向右或向左走一步。如果我们要研究，这样走下去，最终随机运动的趋向等问题，就需要将无穷多步粒子各自所在的位置作为一个整体来考虑，找出它取值的统计规律。为此我们先要考虑无限制地抛掷硬币所得结果这一随机序列，因为它完全决定了粒子的走法。假设每次抛掷得到正面的概率是p，这个试验的全部可能的结果组成的集合是(其中“1”表示正面，“0”表示反面)。于是，我们就有了概率空间(Ω，F，P)．若将第n步粒子所在的位置记为Sn，那么，在这里我们就需要研究一连串随机变量之间的动态关系，即同时研究这无穷个随机变量作为整体时，它取值的统计规律。令由于随机徘徊是按照硬币的抛掷结果或向右或向左走一步，因此，我们可引入一独立随机变量序列｛Zn｝满足P(Zn＝1)＝p，P(Zn＝－1)＝1－p(n＝l，2，…)显然Sn＝Sn－1＋Zn＝S0十注意到Zn与2Xn－1是同分布的，于是．,显然，这里的是一列同分布的随机变量序列：P(Xn＝1)＝p，P(Xn＝0)＝1－p(n＝l，2，…)又因为各次抛掷是独立的，我们有可见又是相互独立的，所以，是一列相互独立同分布的序列(简记为i．i．d．序列)．上述这样的随机序列是一个最简单的随机过程，称之为贝努利序列。我们称的...