随机分析2--均方连续VIP免费

二均方连续设{X(t),t∈T}是二阶矩过程,t0T,∈若)(X)(X..00ttmiltt则称{X(t),tT}∈在t0处均方连续若对任意的tT,{X(t),tT}∈∈在t处均方连续,则称{X(t),tT}∈在T上均方连续.或称{X(t),tT}∈是均方连续的.1.均方连续定义2.均方连续准则定理设{X(t),tT}∈是二阶矩过程,t0T,∈则{X(t),tT}∈在t0处均方连续的充要条件是其相关函数RX(s,t)在(t0,t0)处连续.证明由定义{X(t),tT}∈在t0处均方连续的充要条件是)(X)(X..00ttmiltt由均方收敛的性质以及均方收敛的充要条件得)](X)(X[E)](X)(X[Elim0000tttsttts即),(R),(Rlim00XX00tttsttts即RX(s,t)在(t0,t0)处连续.说明1.在以上定理中,将t0换为任意的t也成立.即二阶矩过程{X(t),tT}∈在任意tT∈处均方连续的充要条件是其相关函数RX(s,t)在(t,t)处连续.2.该定理(均方连续准则)的重要性在于二阶矩过程的均方连续性可由它的相关函数的普通连续性来确定.3.对于相关函数RX(s,t)而言,它在(t,t)处的连续(tT)∈也是它在整个T×T上连续的充要条件.即有以下定理定理如果二阶矩过程{(),}XttTtT上连续．{(,),}TTststT的相关函数在点(t,t)处连续,则它在RX(s,t)对任意的即对二阶矩过程的相关函数RX(s,t)而言,它在整个区域T×T上连续与它在T×T的对角线上连续是等价的．证明因为对任意的t∈T,RX(t)在(t,t)处连续,则由均方连续准则知{(),}XttT是均方连续.再由均方连续定义得000000,TX()X(),..X()X()ssttstl.i.msslimtt对由均方极限的运算性质得)](X)(X[E)](X)(X[E0000tstslimttss上式即为),(R),(R00XX00tstslimttss由s0,t0的任意性知,RX(s,t)在T×T上连续.定理若二阶矩过程{(),}XttT均方连续，则其均值函数和方差函数也在T上连续．即)(m)(m0XX0ttlimtt)(D)(D0XX0ttlimtt证明可由均方极限的运算性质得到.即)()](E[X)](X..E[)](X[E0X000tmttmiltlimtttt)()](D[X)](X..D[)](X[D0X000tDttmiltlimtttt举例1设{N(t),t≥0}是参数为λ的Poisson过程.因为)0,(),,min(),(2tstssttsRN02020),(lim000tttsRtNttts，且对所以{N(t),t≥0}是均方连续.2设{W(t),t≥0}是参数为σ2的Wiener过程.因为)0,(),,min(),(2tststsRW020),(lim000ttsRtWttts，又对所以{W(t),t≥0}是均方连续.因而以上两过程的均值函数与方差函数也连续.