线性代数讲义4_特征值与二次型VIP免费

线性代数讲义4特征值与二次型张宏浩称f(A)为方阵A的多项式.相似矩阵设10(),nnfxaxaxa记10()nnfAaAaAaE1,kkBPAP1()()fBPfAP对于方阵有1,BPAP相似矩阵设A,B为n阶方阵,若存在可逆矩阵P,使1PAPB则称B是A的相似矩阵.称P为相似变换矩阵.•矩阵的相似具有反身性、对称性和传递性.P-1AP=L的充要条件若存在可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵L,则称方阵A可相似对角化.1,APP1,kkAPP1()()fAPfP而对于对角阵L=diag(l1,…,ln),1diag(,,),kkkn1()diag[(),,()]nfff此时有可相似对角化方阵的多项式计算由此可方便地计算A的多项式.有定理1n阶方阵A与对角阵L=diag(l1,…,ln)相似的充分必要条件是存在线性无关向量组p1,…,pn满足(1,,)iiiAppin提示:1(,,),nAPApAp11(,,)nnPΛpp当P=(p1,…,pn)可逆时,是AP=PL.方阵的特征值与特征向量设A为方阵,如果存在数l和非零向量p,使方阵的特征值与特征向量那么称数l为A的特征值,App特征值l的特征向量.•l为方阵A的特征值的充分必要条件是|lE-A|=0.•p为方阵A对应于特征值l的特征向量,也即p为方程组(lE-A)x=0的任一非零解.•对应于n阶方阵A的特征值l有n-R(lE-A)个线性无关的特征向量,称属于l的线性无关特征向量组.称非零向量p为A对应于设A=(aij)为n阶方阵,l为变元,则有111212122212||nnnnnnaaaaaaEAaaa11nnncc其中11122().nncaaa||EA•称n次多项式|lE-A|为A的特征多项式.•称n次方程|lE-A|=0为A的特征方程.注:方阵A的特征多项式也记为|A-lE|,除了可能差一个负号外与|lE-A|并无本质性的差异.112()()nnknnkkaab112()nnnnnkiikikac•在复数范围内,n阶方阵有n个特征值(重根按重数算).设A=(aij)为n阶方阵,l为变元,则有11nnncc其中11122().nncaaa||EA•称n次多项式|lE-A|为A的特征多项式.•称n次方程|lE-A|=0为A的特征方程.•设l1,…,ln为A的所有特征值,1||()()nEA特征值的性质(2)(1)1||;nA11122.nnnaaaA的迹,记为tr(A).则有112()nnnnnkikikc定理2相似矩阵有相同的特征多项式(特征值).设A=(aij)为n阶方阵,l为变元,则有11nnncc其中11122().nncaaa||EA•称n次多项式|lE-A|为A的特征多项式.•称n次方程|lE-A|=0为A的特征方程.证明设A与B相似,即有可逆阵P,使PAPB1,故1||||EBEPAP1||||||||PEAPEA1|()|PEAP推论若对角阵L是A的相似矩阵,则L以A的特征值为对角元素.解方阵A的特征多项式为922||264246EA2(10)(1110)方阵A的特征值为9202610241092042024102(1)(10)1231,10.922264246A练习1求方阵的特征值和特征向量.>>>解由得基础解系()0.EAx82211/41/4101/225409/29/201124509/29/2000rrEA1122p因此,方阵A对应于l1=1的全部特征向量为111(0).kpk练习1求方阵当l1=1时,解方程组方阵A的特征值为1231,10.的特征值和特征向量.922264246A>>>练习1求方阵解当l2=l3=10时,解方程组0(10).EAx由12212210244000244000rEA得基础解系221,0p3201p因此,方阵A对应于l2=l3=10的全部特征向量为2233kpkp2223(0)kk方阵A的特征值为1231,10.的特征值和特征向量.922264246A>>>解方阵A的特征值为方阵A的特征多项式为12,231.当l1=2时,解方程组(2)0,EAx方阵A对应于l1=2的全部特征向量为111(0).kpk得基础解系2110||430(2)(1...