第六讲vonNeumann-Morgenstern期望效用函数6.1“圣彼德堡悖论”的讨论概率论的早期历史JacobBernoulli(1654-1705)1713年发表《猜度术(ArsConjectandi)》。这是当时最重要、最有原创性的概率论著作。由此引起所谓“圣彼德堡悖论”问题。“圣彼德堡悖论”问题有这样一场赌博：第一次赢得1元，第一次输第二次赢得2元，前两次输第三次赢得4元，……一般情形为前n-1次输，第n次赢得元。问：应先付多少钱，才能使这场赌博是“公平”的？如果用数学期望来定价，答案将是无穷！12n“圣彼德堡悖论”的金融学含义“倍赌策略”是一种“套利策略”。在一个有等价概率鞅测度的“二叉树”“存贷－赌博”市场上，采用“倍赌策略”，如果允许无限借贷和无限次赌博，那么其“赢钱概率”为1。它可以作为某些股票在一定时期内会“疯涨”的理由。“圣彼德堡悖论”1738年发表《对机遇性赌博的分析》提出解决“圣彼德堡悖论”的“风险度量新理论”。指出用“钱的数学期望”来作为决策函数不妥。应该用“钱的函数的数学期望”。DanielBernoulli（1700-1782)6.2vonNeumann--Morgenstern期望效用函数的公理化陈述期望效用函数1944年在巨著《对策论与经济行为》中用数学公理化方法提出期望效用函数。这是经济学中首次严格定义风险。JohnvonNeumann(1903-1957)OskarMorgenstern(1902-1977)用期望效用函数来刻划风险所谓期望效用函数是定义在一个随机变量集合上的函数，它在一个随机变量上的取值等于它作为数值函数在该随机变量上取值的数学期望。用它来判断有风险的利益，那就是比较“钱的函数的数学期望”。假定(x,y,p)表示以概率p获得x,以概率(1-p)获得y的机会，那么其期望效用函数值为u((x,y,p))=pu(x)+(1-p)u(y).一个简化的公理体系公理1“不确定利益”是随机变量所构成的一个集合L，并且对于任何两个“不确定利益”x,y来说，“以概率p获得x,以概率1-p获得y”也是“不确定利益”。这一“不确定利益”可称为x以概率p与y的“平均”，并记为(x,y;p).公理2任何两个“不确定利益”都可比较好坏。公理3“不确定利益”中有一个最好的以及一个最差的。一个简化的公理体系(续)公理4如果有三个“不确定利益”一个比一个好，那么处于中间的“不确定利益”相当于另外两个“不确定利益”的对某个概率的“平均”。反之，两个“不确定利益”的对某个概率的“平均”的好坏必处于两者之间。假定b“最好”，w“最坏”。那么任何x一定相当于b关于概率p与w的“平均”。取u(x)=p,即得所求期望效用函数。期望效用函数的争论期望效用函数似乎是相当人为、相当主观的概念。一开始就受到许多批评。其中最著名的是“Allais悖论”(1953)。由此引起许多非期望效用函数的研究，涉及许多古怪的数学。但都不很成功。MauriceAllais(1911-)1986年诺贝尔经济奖获得者。6.3Allais悖论和Kahneman-Tversky的研究Kahneman-Tversky理论DanielKahneman,(1934-)2002年诺贝尔经济学奖获得者Kahneman与AmosTversky,(1937-1996)两位心理学家于1979年发表的论文“展望理论(ProspectTheory)”已成为《计量经济学(Econometrica)》有史以来被引证最多的经典。他们企图改变期望效用函数理论框架。Kahneman诺贝尔演说的问题问题1.假设有一场这样的赌博：你赢150元的概率是50%,而你输100元的概率也是50%.你能接受这样的赌博吗？如果你身边的钱少于100元，你是否会改变你的决定？调查结果是：除非把所赢的钱提高到200元以上，绝大多数的人都不接受这样的赌博，只有少数人接受这样的赌博。但对于后一种情况，所有人都不接受。Kahneman诺贝尔演说的问题问题2.现在有这样两种情况：一种情况是肯定损失100元；另一种情况是参加这样的赌博：你赢50元的概率是50%,而你输200元的概率也是50%.对于这样的两种情况你选择哪一种？如果你身边的钱多于100元，你是否会改变你的决定？调查结果是绝大多数的人选择赌博，即使身边有多于100元的钱也并没有多大影响。6.4Arrow--Pratt风险厌恶度量有风险与无风险之间的比较机会(x,y,p)与肯定得到px+(1-p)y之间的利益比较就是比较u((x,y,p))=pu(x)+(1-p)u(y)与u(px+(1-p)y)之间的大小。如果...
