第4章 矩形单元及等参单元(有限元分析)VIP免费

第4章矩形单元及等参单元机械与汽车工程学院SchoolofMechanicalandAutomobileEngineering第4-1节矩形单元1、单元分析（位移、应力、应变）任务：形成单元刚度矩阵，建立单元特性方程，建立坐标系，如下图：xyklmnaabbeTkkllmmnnuvuvuvuv节点位移：1）位移函数（双线性函数）假设8个节点的位移已知，通过插值来求单元内任一点的位移u(x,y)、v(x,y)12345678(,)(,)uxyxyxyvxyxyxy（4-1）12345678123456781234567812345678(4kkllmmnnuababvababuababvababuababvababuababvabab将节点位移与节点坐标一起代入（4-1）可得：-2)(43)kkllmmnnkkllmmnnuNuNuNuNuvNvNvNvNv求出待定系数，则单元位移可以表示为：具体求解可参照三角形单元。00000000klmnklmneTkkllmmnneNNNNNNNNNuvuvuvdvNu用矩阵表示为：其中：1=(1)(1)41=(1)(1)41=(1)(1)41=(1)(1)4klmnxyNabxyNabxyNabxyNab形函数的具体表达式为：2)单元应力和应变00000010004xyxyeeeklmnxuvyyxbybybybyaxaxaxbyaxabaxbyaxbyaxbyaxbyBBBBB由于[B]中元素是坐标的线性函数，所以在单元内部应变线性变化。（比较3节点三角形单元）则应力向量可以表示为：211(1)(1)11(1)(1)(,,,)4(1)1111(1)(1)22eeklmniiiiiiiiiiiiiyxxyyxEyxiklmnxyyxxDDBSSDBSSyySxxySS对于平面应力问题，应力矩阵为：[B]、[S]均不是常数矩阵，而是x、y的线性函数。因此矩形单元的精度比三角形三节点单元更高。3）单元刚度矩阵ln[][]=TeabTTTTklmnklmnabkkklkmknlklllmemkmlmmmnnknlnmnnkBDBtdxdyBBBBDBBBBtdxdykkkkkkkkkkkkkkkkk写成分块矩阵的形式：22222[][][]11111111(1)(1)32324(1)11111111(1)(1)2323abeTrsrsabrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrskBDBtdxdybaxxyyyyxxxyyxEtababyxxyyyxxxxyy对于平面应力问题，其中子矩阵：两种常用的载荷：（1）对于单元自重W，移置到每个节点上的载荷都等于W/4；（2）如果一个边界上受有三角形分布的表面力，且在一个节点处为零，另一个节点处为最大，那么可将总表面力的1/3移置到前一个节点，1/3移置到后一个节点。六节点三角形单元在三角形单元i、j、k的每一边上增加一个节点i’、j’、k’，使每个单元具有六个节点，12个自由度，采用完全二次多项式的位移模式：2121121098726524321yxyxyxvyxyxyxu第4-2节等参单元1、等参单元的概念三角形单元适应性强，易于网格划分和逼近边界形状，缺点是位移模式为线性函数，单元应力和应变均为常数，精度不理想。矩形单元位移模式为双线性函数，单元应力、应变是线性变化的，精度较高，形状规整，便于自动分网；缺点是不能适应曲线边界和斜边界，不能随意改变大小。等参单元：既能很好的适应曲线边界和准确的模拟结构形状，又具有较高次的位移模式，能够反映结构的复杂应力分布情况。等参单元的基本思想：首先推导出局部坐标下的规则单元（称为母单元）的形函数，其次利用形函数进行坐标变换，从而推导出整体坐标下的不规则单元（称为子单元）的形函数和单元刚度矩阵。在等参单元中坐标变换和位移模式使用相同的节点数。jikyxPPijPikPjkLi+Lj+Lk=1x=Lixi+Ljxj+Lkxky=Liyi+Ljyj...