限时作业13一次函数与二次函数一、选择题1.(2008江西高考,理12)已知函数f(x)＝2mx2-2(4-m)x+1,g(x)＝mx,若对于任一实数x,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数,则实数m的取值范围是()A.(0,2)B.(0,8)C.(2,8)D.(-∞,0)解析:当m≤0时,显然不成立;当m＞0时,因f(0)＝1＞0,当≥0即0＜m≤4时,结论显然成立;当＜0时,只要Δ＝4(4-m)2-8m＝4(m-8)(m-2)＜0即可,4∴＜m＜8.综上,知0＜m＜8.答案:B≥0,y≥0,且x+2y＝1,那么2x+3y2的最小值为()A.2B.C.解析:2x+3y2＝2(1-2y)+3y2＝3y2-4y+2＝,x∵＝1-2y≥0,0∴≤y≤.∴当时,f(y)有最小值.∴当且x＝0时,2x+3y2有最小值.答案:B3.已知k＜-4,则函数y＝cos2x+k(cosx-1)的最小值是()A.1B.-1C.2k+1D.-2k+1解析:y＝2cos2x+kcosx-(k+1)＝2()2-(),k∵＜-4,∴＞1.∴当cosx＝1时,()2最小.故当cosx＝1时,ymin＝1.答案:A4.已知函数f(x)＝x2+2(m-1)x+2m+6,若f(x)＝0有两个实根,且一个比2大,一个比2小,则m的取值范围为()A.(-∞,-1］B.(-∞,-1)C.(-1,+∞)D.［-1,+∞)解析:考虑函数y＝f(x)的图象与x轴的交点,一个在点(2,0)的左侧,一个在点(2,0)的右侧.故有f(2)＜0,即f(2)＝4+4(m-1)+2m+6＝6m+6＜0,得m＜-1.答案:B5.设实数a∈［-1,3］,函数f(x)＝x2-(a+3)x+2a,当f(x)＞1时,实数x的取值范围是…()A.［-1,3］B.(-5,+∞)C.(-∞,-1)(5,+∞)D.(-∞,1)(5,+∞)∪∪解析:f(x)＝x2-(a+3)x+2a＞1(2-x)a+x2-3x-1＞0,令g(a)＝(2-x)·a+x2-3x-1,∴由题意有x(-∞,-1)(5,+∞).∈∪答案:C二、填空题6.已知关于x的函数f(x)＝ax2+bx+c(a、b、c为常数,且ab≠0),若f(x1)＝f(x2)(x1≠x2),则f(x1+x2)的值等于_______________.解析:由f(x1)＝f(x2),知,.∴f(x∴1+x2)＝f()＝c.答案:c7.已知函数f(x)＝-x2+ax+b2-b+1(a,b∈R)对任意实数x都有f(1+x)＝f(1-x)成立,若当x∈［-1,1］时,f(x)＞0恒成立,则b的取值范围是_________.解析:f(x)图象开口向下,又由对任意的x,有f(1+x)＝f(1-x),可得x＝1为f(x)的对称轴.a∴＝2.要使x∈［-1,1］时,恒有f(x)＞0,只需f(-1)＞0,即b2-b-2＞0,b∴＜-1或b＞2.答案:(-∞,-1)(2,+∞)∪8.已知二次函数f(x)同时满足条件:(1)f(1+x)＝f(1-x);(2)f(x)的最大值为15;(3)f(x)＝0的两根的立方和等于17.则f(x)的解析式为_____________.解析:依条件可设f(x)＝a(x-1)2+15(a＜0),即f(x)＝ax2-2ax+a+15,令f(x)＝0,即ax2-2ax+a+15＝0,设x1,x2是该方程的两个根,于是x1+x2＝2,x1x2＝.而x13+x23＝(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2)＝23-3×2×()＝,,∴故a＝-6.f(x)∴＝-6x2+12x+9.答案:f(x)＝-6x2+12x+9三、解答题9.已知函数f(x)＝ax2+(b-8)x-a-ab,当x(-3,2)∈时,f(x)＞0,当x(-∞,-3)(2,+∞)∈∪时,f(x)＜0.(1)求f(x)在［0,1］上的值域;(2)若ax2+bx+c≤0的解集为R,求实数c的取值范围.解:(1)由题设知-3,2是ax2+(b-8)x-a-ab＝0的两个实根,且a＜0,从而解之,得于是f(x)＝-3x2-3x+18＝-3()2+.f(x)∴在［0,1］上是减函数,故f(x)max＝f(0)＝18,f(x)min＝f(1)＝12.因此,f(x)在［0,1］上的值域为［12,18］.(2)ax2+bx+c≤0的解集为R,即-3x2+5x+c≤0的解集为R,则Δ＝25+12c≤0c≤,即c的取值范围是(-∞,］.10.已知二次函数f(x)＝ax2+bx+c(a,b,c∈R),且同时满足下列条件:f(-1)①＝0;②对任意的实数x,都有f(x)-x≥0;③当x(0,2)∈时,有f(x)≤()2.(1)求f(1);(2)求a,b,c的值;(3)当x∈［-1,1］时,函数g(x)＝f(x)-mx(m是实数)是单调函数,求m的取值范围.解:(1)f(x)-x∵≥0对一切x∈R恒成立,f(1)-1∴≥0.又∵当x(0,2)∈时,f(x)≤()2,f(1)∴≤1.从而f(1)＝1.(2)f(1)＝1,a+b+c∴＝1.又f(-1)＝0,a-b+c∴＝0.解之,得b＝a+c＝.由f(x)-x≥0,即在R上恒成立,得即(4a-1)2≤0,.∴从而,即a,b,c的值分别为,,.(3)由(2),得,g(x)∴＝＝.要使g(x)在［-1,1］上是单调函数,只要或,∴m≤0或m≥1,即m的取值范围是(-∞,0］∪［1,+∞).
