主讲人：徐泽林主讲人：徐泽林天津师范大学数学科学学院http://59.67.71.237:8080/006/index.htmzelinxu@Sohu.com第七章分析时代在18世纪，微积分得到了进一步深入发展，这种发展与广泛的应用交织在一起，刺激和推动了许多数学新分支的产生，从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域。18世纪可以说是分析的时代，也是向现代数学过渡的重要时期。§7.1§7.1微积分的发展微积分的发展7.1.1积分技术与椭圆积分7.1.2微积分向多元函数的推广7.1.3无穷级数理论7.1.4函数概念的深化7.1.5微积分严格化的尝试§7.2§7.2微积分的应用与新分支的形成微积分的应用与新分支的形成7.2.1常微分方程7.2.2偏微分方程7.2.3变分法§7.3§7.31818世纪的几何与代数世纪的几何与代数7.3.1微分几何的形成7.3.2方程论及其他7.3.3数论的进展§7.1§7.1微积分的发展微积分的发展微积分算法的推广，在英国和欧洲大陆国家是循着不同的路线进行的。大不列颠的数学家们在剑桥、牛津、伦敦和爱丁堡等著名的大学里教授和研究牛顿的流数术，他们中的优秀代表有泰勒、麦克劳林、棣莫弗、斯特林等。泰勒在自己的《正的和反的增量方法》中，陈述了他早在1712年就已获得的那个著名定理:BrookTaylorColinMaclaurin3322321211)(zvxzvxzvxxvzx其中v为独立变量z的增量，和为流数。泰勒假定随时间均匀变化，故为常数，从而上述公式相当于现代形式的“泰勒公式”：泰勒公式使任意单变量函数展为幂级数成为可能，是微积分进一步发展的有力武器。但泰勒对该定理的证明很不严谨，也没有考虑级数的收敛性。)(''!2)(')()(2xfhxhfxfhxfxz泰勒公式在零点的特殊情况后来被爱丁堡大学教授麦克劳林重新得到，现代微积分教材中一直把这一特殊情形称为麦克劳林公式。麦克劳林是牛顿微积分学说的竭力维护者，他曾试图对牛顿流数论进行严密的形式化推演，但因囿于几何传统而并不成功。麦克劳林之后，英国数学陷入了长期停滞的状态。微积分发明权的争论滋长了大不列颠数学家的民族保守情结，使他们不能摆脱牛顿微积分学说中弱点的束缚。而在英吉利海峡的另一边，新分析却在莱布尼兹的后继者们的推动下蓬勃发展起来。推广莱布尼兹学说的任务，在从17世纪到18世纪的过渡时期，主要是由雅各布·伯努利和约翰·伯努利两兄弟担当。他们的工作，构成了现今所谓初等微积分的大部分内容。18世纪微积分最重大的进步应归于欧拉。他于1748年出版的《无限小分析引论》以及随后发表的《微分学》和《积分学》是微积分史上里程碑式的著作。它们在很长时间里被当作分析课本的典范而普遍使用着。JacobBernoulli1654--1705JohannBernoulli1667--1748这三部著作包含了欧拉本人在分析领域的大量创造，同时引进了一批标准的分析学符号，对分析表述的规范化起了重要作用。此外，法国学派的代表人物克莱洛、达朗贝尔、拉格朗日、蒙日和勒让德等，也为微积分及其应用在欧陆的推广做出了卓越贡献。18世纪微积分最重大的进步应归于欧拉。他于1748年出版的《无限小分析引论》以及随后发表的《微分学》和《积分学》是微积分史上里程碑式的著作。它们在很长时间里被当作分析课本的典范而普遍使用着。这三部著作包含了欧拉本人在分析领域的大量创造，同时引进了一批标准的分析学符号，如：对分析表述的规范化起了重要作用。［欧拉还创设了许多数学符号，例如π（1736年），sin和cos（1748年），tg（1753年），△x（1755年）等．LeonhardEuler)(xfei欧拉1707年出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城，13岁就进巴塞尔大学读书，得到当时最有名的数学家约翰·伯努利（JohannBernoulli，1667-1748年）的精心指导．欧拉渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都是令人惊叹不已的！他从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文．到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的...
