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专题四高考中的立体几何问题VIP免费

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【例1】(2013·山东)如图,四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.(1)求证:CE∥平面PAD;(2)求证:平面EFG⊥平面EMN.证明(1)方法一取PA的中点H,连接EH,DH.又E为PB的中点,又CD平行且等于12AB,所以EH平行且等于CD.所以四边形DCEH是平行四边形,所以CE∥DH.又DH⊂平面PAD,CE⊄平面PAD.所以CE∥平面PAD.所以EH平行且等于12AB.方法二连接CF.因为F为AB的中点,所以AF=12AB.又CD=12AB,所以AF=CD.又AF∥CD,所以四边形AFCD为平行四边形.因此CF∥AD,又CF⊄平面PAD,所以CF∥平面PAD.因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥PA.又EF⊄平面PAD,所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF=F,故平面CEF∥平面PAD.又CE⊂平面CEF,所以CE∥平面PAD.(2)因为E、F分别为PB、AB的中点,所以EF∥PA.又因为AB⊥PA,所以EF⊥AB,同理可证AB⊥FG.又因为EF∩FG=F,EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG.所以AB⊥平面EFG.又因为M,N分别为PD,PC的中点,所以MN∥CD,又AB∥CD,所以MN∥AB,所以MN⊥平面EFG.又因为MN⊂平面EMN,所以平面EFG⊥平面EMN.跟踪训练1如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,M,N分别为A1B,B1C1的中点.求证:(1)BC∥平面MNB1;(2)平面A1CB⊥平面ACC1A.证明(1)因为BC∥B1C1,且B1C1⊂平面MNB1,BC⊄平面MNB1,故BC∥平面MNB1.(2)因为BC⊥AC,且ABC-A1B1C1为直三棱柱,故BC⊥平面ACC1A1.因为BC⊂平面A1CB,故平面A1CB⊥平面ACC1A1.【例2】如图1所示,在Rt△ABC中,AC=6,BC=3,∠ABC=90°,CD为∠ACB的平分线,点E在线段AC上,CE=4.如图2所示,将△BCD沿CD折起,使得平面BCD⊥平面ACD,连接AB,BE,设点F是AB的中点.(1)求证:DE⊥平面BCD;(2)若EF∥平面BDG,其中G为直线AC与平面BDG的交点,求三棱锥B-DEG的体积.(1)证明 AC=6,BC=3,∠ABC=90°,∴∠ACB=60°. CD为∠ACB的平分线,∴∠BCD=∠ACD=30°.∴CD=23. CE=4,∠DCE=30°,∴DE2=CE2+CD2-2CE·CD·cos30°=4,∴DE=2,则CD2+DE2=EC2.∴∠CDE=90°,DE⊥DC.又 平面BCD⊥平面ACD,平面BCD∩平面ACD=CD,DE⊂平面ACD,∴DE⊥平面BCD.(2)解 EF∥平面BDG,EF⊂平面ABC,平面ABC∩平面BDG=BG,∴EF∥BG. 点E在线段AC上,CE=4,点F是AB的中点,∴AE=EG=CG=2.如图,作BH⊥CD于H. 平面BCD⊥平面ACD,∴BH⊥平面ACD.由条件得BH=32,S△DEG=13S△ACD=13×12AC·CD·sin30°=3,∴三棱锥B-DEG的体积V=13S△DEG·BH=13×3×32=32.跟踪训练2(2012·北京)如图(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图(2).(1)求证:DE∥平面A1CB.(2)求证:A1F⊥BE.(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?说明理由.(1)证明因为D,E分别为AC,AB的中点,所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB,所以DE∥平面A1CB.(2)证明由已知得AC⊥BC且DE∥BC,所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D,DE⊥CD.又A1D∩CD=D,所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC,所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD,所以A1F⊥平面BCDE,又因为BE⊂平面BCDE,所以A1F⊥BE.(3)解线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ.理由如下:分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQ∥BC.又因为DE∥BC,所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.如图,由(2)知,DE⊥平面A1DC,所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点,所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q,使得A1C⊥平面DEQ.【例3】如图,在矩形ABCD中,AB=2BC,P、Q分别是线段AB、CD的中点,EP⊥平面ABCD.(1)求证:DP⊥平面EPC;(2)问在EP上是否存在点F,使平面AFD⊥平面BFC?若存在,求出FPAP的值;若不存在,说明理由.(1)证明 EP⊥平面ABCD,∴EP⊥DP.又ABCD为矩形,AB=2BC,P、Q分别为AB、CD的中点,连接PQ,则PQ⊥DC且PQ=12DC.∴DP⊥PC. EP∩PC=P,∴DP⊥平面EPC.(2)解假设存在F使平面AFD⊥平面BFC, AD∥BC,BC⊂平面BFC,AD⊄平面BFC,∴AD∥平面BFC.∴AD平行于平面AFD与平面BFC的交线l. EP⊥平面ABCD,∴EP⊥AD,而AD⊥AB,AB∩EP=P,∴AD⊥平面EAB...

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