高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法(五)——在立体几何中综合应用VIP免费

空间向量在立体几何中的应用5前段时间我们研究了用空间向量求角(包括线线角、线面角和面面角)、求距离(包括线线距离、点面距离、线面距离和面面距离)今天我来研究如何利用空间向量来解决立体几何中的有关证明及计算问题。一、空间向量的运算及其坐标运算的掌握二、立体几何问题的解决──向量是很好的工具复习空间向量(一)是平面向量的推广,有关运算方法几(一)平行与垂直的判断乎一样,只是“二维的”变成“三维的”了.(二)夹角与距离的计算设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则l∥ma∥bakb；线面平行∥u∥v.ukv注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.线线平行l∥au0au；面面平行一、用空间向量处理“平行”问题RDBCAA1QPNMD1C1B1例1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别是A1B1和BC上的动点，且A1P=BQ，M是AB1的中点，N是PQ的中点.求证：MN∥平面AC.（１）M是中点，N是中点MNR∥QMN∥平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1法（２）作PP1AB⊥于P1，作MM1AB⊥于M1，连结QP1，作NN1⊥QP1于N1，连结M1N1N1M1P1NN1PP∥1MM1AA∥1又NN1、MM1均等于边长的一半故MM1N1N是平行四边形，故MNM∥1N1MN∥平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1zyxo证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz设正方形边长为2，又A1P=BQ=2x则P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0)故N(2-x,1+x,1),而M(2,1,1)MN所以向量(-x,x,0)，又平面AC的法向量为(0,0,1)，∴∴n0nMN又M不在平面AC内，所以MN∥平面ACnMNDCBAD1C1B1A1例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CB1D1(1)平行四边形A1BCD1A1BD∥1C平行四边形DBB1D1B1D1BD∥于是平面A1BD∥平面CB1D1DCBAD1C1B1A1ozyx(2)证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz设正方形边长为1，则向量)1,0,1(1DA)0,1,1(DB设平面BDA1的法向量为),,(zyxn则有x+z=0x+y=0令x=1,则得方程组的解为x=1y=-1z=-1故平面BDA1的法向量为)1,1,1(n同理可得平面CB1D1的法向量为)1,1,1(m则显然有mn即得两平面BDA1和CB1D1的法向量平行所以平面BDA1CB∥1D1DCBAD1C1B1A1ozyxDCBAD1C1B1A1FGHE例3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点.求证：平面AEH∥平面BDGFADGF∥，AD=GF又EHB∥1D1，GFB∥1D1EHGF∥平行四边形ADGEAED∥G故得平面AEH∥平面BDGFDCBAD1C1B1A1HGFEozyx略证：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz则求得平面AEF的法向量为)1,2,2(n求得平面BDGH的法向量为)1,2,2(m显然有nm故平面AEH∥平面BDGF设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则线线垂直线面垂直⊥u⊥v.0vul⊥ma⊥b0ab；l⊥a∥uaku；面面垂直二、用空间向量处理“垂直”问题二、用空间向量处理“垂直”问题0mnnm↑nmnm:''''','.ABCDABCDCCBDAFBDE例5在正方体中.E,F分别是的中点.求证：平面FEXYZ,,''DADCDDxyzA�证明:如图取分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2.A(2,0,0),B(2,2,0),(2,0,2)E(0,2,1),F(1,1,0)'(1,1,2),(2,2,0),(0,2,1)'(1,1,2)(2,2,0)0'(1,1,2)(0,2,1)0',',.'AFDBDEAFDBAFDEAFDBAFDEDBDEDAFBDE����又平面例4已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,、MN分别是、ABPC的中点,并且PAAD,求证:MN平面PDCADBPCMN分析:坐标系容易建立,应考虑用坐标法,解题思路水到渠成.练习1.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,、MN分别是、ABPC的中点,并且PAAD,求证:MN平面PDCADBPCMN证明:分别以为坐标向量建立空间直角坐标系,,ijkAxyzxyz,,,,,1PAADABPAACADABDAiABjAPkPA�且平面可设(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),ABCD(0,0,1)P1111(0,,0),(,,)2222MN11(,0,)22MN�(1,0,1)PD�(0,1,0)DC�11(,0,)(1,...