对中点四边形的探究与延伸一、基本性质归纳：例1．①杨伯家小院子的四棵小树刚好在其梯形院子各边的中点上，若在四边形种上小草，则这块草地的形状是（）A．平行四边形B．矩形C．正方形D．菱形②顺次连接菱形各边的中点所得的四边形一定是（）A．等腰梯形B．正方形C．平行四边形D．矩形分析：这是对平行四边形的定义和判定定理的考查．解该题的思路是构造三角形及其中位线，这是数学中常用的“建模”思想，把四边形两边的中点转化为三角形两边的中点，又体现出转化思想．我们可从四边形的四条边的数量关系和位置关系入手，由题设可知、分别为、的中点，符合三角形中位线定理的条件，可构造三角形的中位线．解：如图所示：以梯形的中点四边形为例，在中、分别为、的中点∴平行且等于的一半，同理，平行且等于的一半，所以平行且等于，所以四边形为平行四边形，又因为菱形的两条对角线互相垂直，所以四边形邻边互相垂直，故菱形的中点四边形是矩形．所以①选A；②选D．温馨提示：判定中点四边形的形状要抓住两个关键点：一是三角形中位线定理的应用，二是原四边形两条对角线的数量关系和位置关系．为了便于同学们更好地理解和掌握，我们把常见的中点四边形形状归纳如下表．原四边形中点四边形任意四边形平行四边形平行四边形两条对角线相等的四边形（包括矩形和等腰梯形）菱形两条对角线互相垂直的四边形（包括菱形）矩形-1-两条对角线相等且互相垂直的四边形（包括正方形）正方形二、新题探究：㈠条件开放性问题：例2．在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，如果四边形EFGH为菱形，那么四边形ABCD是（只要写出一种即可）．解析：本题是一个开放性问题，结论不唯一：如图：四边形为一个中点四边形，其形状可以由原四边形的对角线来决定，因为任意四边形的中点四边形都是平行四边形，使四边形为菱形，只要有原四边形的对角线相等即可，即，（即四边相等的四边形为菱形）；当然也可以从菱形的判定出发，因为四边形为平行四边形，所以对角线相互平分，只要再有对角线相互垂直即可，所以可以添加（即符合对角线相等且相互平分的四边形为菱形）；还可以添加（即对边相等的平行四边形为菱形）．温馨提示：中点四边形形状是由原四边形的两条对角线和的数量关系和位置关系来确定的，首先，不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形，其次，具体的中点四边形的形状还需需参考原四边形的具备的其他条件来决定．㈡问题延伸：例3．在□ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE．（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是；（3）如图③，在（2）的条件下，若AC＝BD，四边形EGFH的形状是；（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由．解析：（1）根据题意容易得EO＝FO，GO＝HO，从而判断四边形EGFH为平行四边形；（2）根-2-据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得答案；（3）从图形观察可知AC与BD的数量关系并不影响四边形EGFH的形状；（4）当AC＝BD，AC⊥BD时，□ABCD为正方形，结合已知条件容易得△BOG≌△COF，所以有OG＝OF，即EF＝GH，结合EF⊥GH，可得□EGFH是正方形．解：（1）四边形EGFH是平行四边形．证明： □ABCD的对角线AC、BD交于点O．∴点O是□ABCD的对称中心．∴EO＝FO，GO＝HO．∴四边形EGFH是平行四边形．（2）菱形．（3）菱形．（4）四边形EGFH是正方形证明： AC＝BD，∴□ABCD是矩形．又 AC⊥BD，∴□ABCD是菱形．∴□ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°．OB＝OC． EF⊥GH，∴∠GOF＝90°．∴∠BOG＝∠COF．∴△BOG≌△COF．∴OG＝OF，∴GH＝EF．由（1）知四边形EGFH是平行四边形，又 EF⊥GH，EF＝GH．∴四边形EGFH是正方形．温馨提示：本题是探索题属于思维创新型试题，也是课本习题的引申，体现了中考题与课本的紧密联系，但又不拘泥于课本原题，做了一定的提炼，重点考查了特殊四边形的判定，所以在备考时抓住课本是中考复习的一个突破口．跟踪练...
