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第二章第11讲导数与函数单调性VIP免费

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第11讲导数与函数单调性函数的单调性在(a,b)内可导函数f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a,b)上为增函数.f′(x)≤0⇔f(x)在(a,b)上为减函数.[做一做]函数f(x)=ex-x的单调递增区间是________.解析:因为f(x)=ex-x,所以f′(x)=ex-1,由f′(x)>0,得ex-1>0,即x>0.答案:(0,+∞)必明辨的1个易错点函数f(x)在(a,b)内单调递增,则f′(x)≥0;f′(x)>0是f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件.[练一练]若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调增函数,则m的取值范围是________.解析:因为f(x)=x3+x2+mx+1,所以f′(x)=3x2+2x+m.又因为f(x)在R上是单调函数,所以Δ=4-12m≤0,即m≥.答案:考点一求函数的单调区间(2014·高考天津卷节选)已知函数f(x)=x2-ax3(a>0),x∈R.求f(x)的单调区间和极值.[解]由已知,有f′(x)=2x-2ax2(a>0).令f′(x)=0,解得x=0或x=.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,0)0f′(x)-0+0-f(x)0所以f(x)的单调递增区间是;单调递减区间是(-∞,0),.当x=0时,f(x)有极小值,且极小值f(0)=0;当x=时,f(x)有极大值,且极大值f=.[方法归纳]求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求f′(x),令f′(x)=0,求出它在定义域内的一切实数根;(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号,根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.1.已知函数f(x)=ax+xlnx,且图象在点处的切线斜率为1(e为自然对数的底数).(1)求实数a的值;(2)设g(x)=,求g(x)的单调区间;解:(1)f(x)=ax+xlnx,f′(x)=a+1+lnx,x∈(0,+∞),依题意f′()=a=1,所以a=1.(2)因为g(x)==,其定义域是(0,1)∪(1,+∞),所以g′(x)=.设φ(x)=x-1-lnx,则φ′(x)=1-.当x>1时,φ′(x)=1->0,φ(x)是增函数,对∀x>1,φ(x)>φ(1)=0,即当x>1时,g′(x)>0,故g(x)在(1,+∞)上为增函数;当0φ(1)=0,即当00,故g(x)在(0,1)上为增函数.所以g(x)的单调递增区间为(0,1),(1,+∞).考点二由函数的单调性研究参数问题(高频考点)已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e为自然对数的底数).(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间;(2)是否存在a使函数f(x)为R上的单调递减函数,若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.[解](1)当a=2时,f(x)=(-x2+2x)ex,所以f′(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex=(-x2+2)ex.令f′(x)>0,即(-x2+2)ex>0,因为ex>0,所以-x2+2>0,解得-<x<.所以函数f(x)的单调递增区间是(-,).(2)若函数f(x)在R上单调递减,则f′(x)≤0对x∈R都成立,即[-x2+(a-2)x+a]ex≤0对x∈R都成立.因为ex>0,所以x2-(a-2)x-a≥0对x∈R都成立.所以Δ=(a-2)2+4a≤0,即a2+4≤0,这是不可能的.故不存在a使函数f(x)在R上单调递减.[名师点评]已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题;f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.2.已知函数f(x)=-2x2+lnx,其中a为常数.(1)若a=1,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,求a的取值范围.解:(1)若a=1时,f(x)=3x-2x2+lnx,定义域为(0,+∞),f′(x)=-4x+3==(x>0).当f′(x)>0,x∈(0,1)时,函数f(x)=3x-2x2+lnx单调递增.当f′(x)<0,x∈(1,+∞)时,函数f(x)=3x-2x2+lnx单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).(2)f′(x)=-4x+,若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,即在[1,2]上,f′(x)=-4x+≥0或f′(x)=-4x+≤0,即-4x+≥0或-4x+≤0在[1,2]上恒成立.即≥4x-或≤4x-.令h(x)=4x-,因为函数h(x)在[1,2]上单调递...

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