第二章第11讲导数与函数单调性VIP免费

第11讲导数与函数单调性函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数．[做一做]函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是________．解析：因为f(x)＝ex－x，所以f′(x)＝ex－1，由f′(x)>0，得ex－1>0，即x>0.答案：(0，＋∞)必明辨的1个易错点函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0；f′(x)>0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件．[练一练]若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________．解析：因为f(x)＝x3＋x2＋mx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2x＋m.又因为f(x)在R上是单调函数，所以Δ＝4－12m≤0，即m≥.答案：考点一求函数的单调区间(2014·高考天津卷节选)已知函数f(x)＝x2－ax3(a>0)，x∈R.求f(x)的单调区间和极值．[解]由已知，有f′(x)＝2x－2ax2(a>0)．令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0f′(x)－0＋0－f(x)0所以f(x)的单调递增区间是；单调递减区间是(－∞，0)，.当x＝0时，f(x)有极小值，且极小值f(0)＝0；当x＝时，f(x)有极大值，且极大值f＝.[方法归纳]求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实数根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．1.已知函数f(x)＝ax＋xlnx，且图象在点处的切线斜率为1(e为自然对数的底数)．(1)求实数a的值；(2)设g(x)＝，求g(x)的单调区间；解：(1)f(x)＝ax＋xlnx，f′(x)＝a＋1＋lnx，x∈(0，＋∞)，依题意f′()＝a＝1，所以a＝1.(2)因为g(x)＝＝，其定义域是(0,1)∪(1，＋∞)，所以g′(x)＝.设φ(x)＝x－1－lnx，则φ′(x)＝1－.当x>1时，φ′(x)＝1－>0，φ(x)是增函数，对∀x>1，φ(x)>φ(1)＝0，即当x>1时，g′(x)>0，故g(x)在(1，＋∞)上为增函数；当0φ(1)＝0，即当00，故g(x)在(0,1)上为增函数．所以g(x)的单调递增区间为(0,1)，(1，＋∞)．考点二由函数的单调性研究参数问题(高频考点)已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)是否存在a使函数f(x)为R上的单调递减函数，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．[解](1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，所以f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.令f′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0，因为ex＞0，所以－x2＋2＞0，解得－＜x＜.所以函数f(x)的单调递增区间是(－，)．(2)若函数f(x)在R上单调递减，则f′(x)≤0对x∈R都成立，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≤0对x∈R都成立．因为ex＞0，所以x2－(a－2)x－a≥0对x∈R都成立．所以Δ＝(a－2)2＋4a≤0，即a2＋4≤0，这是不可能的．故不存在a使函数f(x)在R上单调递减．[名师点评]已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题；f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．2.已知函数f(x)＝－2x2＋lnx，其中a为常数．(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，求a的取值范围．解：(1)若a＝1时，f(x)＝3x－2x2＋lnx，定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－4x＋3＝＝(x>0)．当f′(x)>0，x∈(0,1)时，函数f(x)＝3x－2x2＋lnx单调递增．当f′(x)<0，x∈(1，＋∞)时，函数f(x)＝3x－2x2＋lnx单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)f′(x)＝－4x＋，若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，即在[1,2]上，f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0，即－4x＋≥0或－4x＋≤0在[1,2]上恒成立．即≥4x－或≤4x－.令h(x)＝4x－，因为函数h(x)在[1,2]上单调递...