数值分析习题课VIP免费

数值分析复习第一章绪论§1绪论：数值分析的研究内容§2误差的来源和分类§3误差的表示§4误差的传播§5算法设计的若干原则一、误差的分类（绝对误差，相对误差）例1-1设x*=2.18是由精确值x经过四舍五入得到的近似值。问x的绝对误差限ε和相对误差限η各是多少？解：因为x=x*±0.005，所以绝对误差限为ε=0.005%23.018.2005.0*x相对误差限为二、有效数字则称近似数x*具有n位有效数字。定义设数x的近似值可以表示为mnx10.021*其中m是整数,αi(i=1,2,…,n)是0到9中的一个数字，而α1≠0.如果其绝对误差限为*1102mnxx结论：通过四舍五入原则求得的近似数，其有效数字就是从末尾到第一位非零数字之间的所有数字。例1-2下列近似数是通过四舍五入的方法得到的，试判定它们各有几位有效数字：解：我们可以直接根据近似数来判断有效数字的位数，也可以通过绝对误差限来判断。有5位有效数字。同理可以写出可以得出x2,x3,x4各具有4、3、4位有效数字。x1*=87540，x2*=8754×10,x3*=0.00345,x4*=0.3450×10-21112xx510.8754010x而55111021xx所以1221102xx520.875410x54221102xx5331102xx6441102xx230.34510x240.345010x-23331102xx24441102xx已知*1102mnxx例1-3已知e=2.718281828……,试判断下面两个近似数各有几位有效数字？6110210000005.00000001.0ee718281.2,718282.221ee615210211021000005.00000008.0ee解：由于而11102718282.0718282.2e所以7161102110210000005.00000001.0eee1有7位有效数字。同理：e2只有6位有效数字。三、算法设计的若干原则•1：两个很接近的数字不做减法:•2:不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)练习：求方程x2-56x+1=0的两个根，使它们至少具有四位有效数字.964.553132第二章插值与拟合1、Lagrange插值多项式,Newton插值多项式的构造与插值余项估计，及证明过程。2、Hermite插值多项式的构造与插值余项估计，带导数条件的插值多项式的构造方法，基于承袭性的算法，基函数法，重节点差商表的构造；3、分段插值及三次样条插值的构造4、最小二乘拟合•掌握Lagrange插值多项式的构造方法及具体结构•掌握Lagrange插值多项式误差分析方法和证明方法•掌握Newton插值多项式的形式及误差•掌握差商表的构造过程关于离散数据：ixiy0x1x0y1ynxny构造了lagrange插值多项式：),(),()!1()()(1)1(baxnfxRnnnnjjijinjiinyxxxxxL00)(Newton插值多项式：],,,[)())((],,[))((],[)()()(10110210101000nnnxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxN例例1-31-3已知已知ff((xx))的五组数据的五组数据((1,0)1,0)、、(2,2)(2,2)、、(3,12)(3,12)、、(4,(4,42)42)、、(5,116)(5,116),,求求NN44((xx))。如果再增加一个节点。如果再增加一个节点(6,282),(6,282),求求出出NN55((xx))，并计算，并计算NN44(1.5)(1.5)、、NN55(1.5).(1.5).解：先由前五组数据列差商表解：先由前五组数据列差商表110022223123124424425116511622101030307474441010222222440.50.562826282166166464688110.10.1得到：得到：)4)(3)(2)(1(5.0)3)(2)(1(2)2)(1(4)1(20)(4xxxxxxxxxxxN28125.0329)5.1()5.1(4Nf如果，再增加一点如果，再增加一点(6,282),(6,282),就在上表中增加一行计算差商就在上表中增加一行计算差商)5)(4)(3)(2)(1(1.0)()(45xxxxxxNxN由由NewtonNewton公式的递推式得到：公式的递推式得到：)5.1()5.1(5Nf得到：得到：)55.1)(45.1)(35.1)(25.1)(15.1(1.0)5.1(4N328125.028125.0609375.02.分段性插值有何优缺点？误差估计？（插值节点的选择）1.高次插值的Runge现象，应如何避免？3.Hermite插值的构造,误差估计4.三次样条函数的定义、构造过程5.数据拟合的最小二乘法（可化为直线拟合的非线性拟合的处理方法）解：...