例12015年成都市中考第28题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．图1备用图思路点拨1．过点E作x轴的垂线交AD于F，那么△AEF与△CEF是共底的两个三角形．2．以AD为分类标准讨论矩形，当AD为边时，AD与QP平行且相等，对角线AP＝QD；当AD为对角线时，AD与PQ互相平分且相等．满分解答（1）由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1,0)．由CD＝4AC，得xD＝4．所以D(4,5a)．由A(－1,0)、D(4,5a)，得直线l的函数表达式为y＝ax＋a．（2）如图1，过点E作x轴的垂线交AD于F．设E(x,ax2－2ax－3a)，F(x,ax＋a)，那么EF＝yE－yF＝ax2－3ax－4a．由S△ACE＝S△AEF－S△CEF＝＝＝＝，得△ACE的面积的最大值为．解方程，得．（3）已知A(－1,0)、D(4,5a)，xP＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：①如图2，如果AD为矩形的边，那么AD//QP，AD＝QP，对角线AP＝QD．由xD－xA＝xP－xQ，得xQ＝－4．当x＝－4时，y＝a(x＋1)(x－3)＝21a．所以Q(－4,21a)．由yD－yA＝yP－yQ，得yP＝26a．所以P(1,26a)．由AP2＝QD2，得22＋(26a)2＝82＋(16a)2．整理，得7a2＝1．所以．此时P．②如图3，如果AD为矩形的对角线，那么AD与PQ互相平分且相等．由xD＋xA＝xP＋xQ，得xQ＝2．所以Q(2,－3a)．由yD＋yA＝yP＋yQ，得yP＝8a．所以P(1,8a)．由AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．整理，得4a2＝1．所以．此时P．图1图2图3考点伸展第（3）题也可以这样解．设P(1,n)．①如图2，当AD时矩形的边时，∠QPD＝90°，所以，即．解得．所以P．所以Q．将Q代入y＝a(x＋1)(x－3)，得．所以．②如图3，当AD为矩形的对角线时，先求得Q(2,－3a)．由∠AQD＝90°，得，即．解得．例22014年陕西省中考第24题如图1，已知抛物线C：y＝－x2＋bx＋c经过A(－3,0)和B(0,3)两点．将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．（1）求抛物线C的表达式；（2）求点M的坐标；（3）将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？图1思路点拨1．抛物线在平移的过程中，M′N′与MN保持平行，当M′N′＝MN＝4时，以点M、N、M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形．2．平行四边形的面积为16，底边MN＝4，那么高NN′＝4．3．M′N′＝4分两种情况：点M′在点N′的上方和下方．4．NN′＝4分两种情况：点N′在点N的右侧和左侧．满分解答（1）将A(－3,0)、B(0,3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得解得b＝－2，c＝3．所以抛物线C的表达式为y＝－x2－2x＋3．（2）由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得顶点M的坐标为(－1,4)．（3）抛物线在平移过程中，M′N′与MN保持平行，当M′N′＝MN＝4时，以点M、N、M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形．因为平行四边形的面积为16，所以MN边对应的高NN′＝4．那么以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形有4种情况：抛物线C直接向右平移4个单位得到平行四边形MNN′M′（如图2）；抛物线C直接向左平移4个单位得到平行四边形MNN′M′（如图2）；抛物线C先向右平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNM′N′（如图3）；抛物线C先向左平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNM′N′（如图3）．图2图3考点伸展本题的抛物线C向右平移m个单位，两条抛物线的交点为D，那么△MM′D的面积S关于m有怎样的函数关系？如图4，△MM′D是等腰三角形，由M(－1,4)、M′(－1＋m,4)，可得点D的横坐标为．将代入y＝－(x＋1)2＋4，得．所以DH＝．所以S＝．图4例32013年上海市松江区中考模拟第24题如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0,1)、B(...
