高考数学二轮专题天天练：第1课时变化率与导数、导数的计算（导数及其应用）1．已知函数f(x)＝sinx＋lnx，则f′(1)的值为()A．1－cos1B．1＋cos1C．cos1－1D．－1－cos1解析：选B.因为f′(x)＝cosx＋，则f′(1)＝cos1＋1.2．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－t2＋2t，那么速度为零的时刻是()[来源:学。科。网]A．0秒B．1秒末C．2秒末D．1秒末和2秒末解析：选D.∵s＝t3－t2＋2t，∴v＝s′(t)＝t2－3t＋2，令v＝0得，t2－3t＋2＝0，解得t1＝1，t2＝2.3．下列求导数运算正确的是()A．(x＋)′＝1＋B．(log2x)′＝C．(3x)′＝3xlog3eD．(x2cosx)′＝－2xsinx解析：选B.(x＋)′＝1－，A错；(3x)′＝3xln3，C错；(x2cosx)′=2xcosx-x2sinx，D错；故选B.4．已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致形状是()[来源:学。科。网Z。X。X。K][来源:学&科&网]解析：选B.设二次函数为y＝ax2＋b(a<0，b>0)，则y′＝2ax，又∵a<0，故选B.5．曲线y＝x3＋x2在点T(1，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A.B.C.D.解析：选D.易知点T为切点，由f′(1)＝2，故切线方程为：y＝2x－，其在两坐标轴的截距分别为，－，故直线与两坐标轴围成的三角形面积S＝××|－|＝.[来源:学科网ZXXK]6．(年高考安徽卷)设函数f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′(1)的取值范围是()A．[－2,2]B．[，]C．[，2]D．[，2]解析：选D.∵f′(x)＝sinθ·x2＋cosθ·x，∴f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋)．∵θ∈[0，]，∴θ＋∈[，]．∴sin(θ＋)∈[，1]．∴2sin(θ＋)∈[，2]．7．已知曲线C：y＝lnx－4x与直线x＝1交于一点P，那么曲线C在点P处的切线方程是________．解析：由题可解得P(1，－4)，则由y′＝－4可得曲线C在P处的切线斜率为k＝y′|x＝1＝－3，故切线方程为y－(－4)＝－3(x－1)即3x＋y＋1＝0.答案：3x＋y＋1＝08．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.解析：由已知切点在切线上，所以f(1)＝＋2＝，切点处的导数为切线的斜率，所以f′(1)＝，所以f(1)＋f′(1)＝3.答案：39．下列图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(－1)＝________.[来源:学&科&网Z&X&X&K]解析：∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，∴导函数f′(x)的图象开口向上．又∵a≠0，其图象必为第三张图．由图象特征知f′(0)＝0，且－a>0，∴a＝－1.[来源:Z*xx*k.Com]故f(－1)＝－－1＋1＝－.答案：－10．求下列函数的导数：[来源:学科网](1)y＝(1－)(1＋)；(2)y＝；(3)y＝tanx.解：(1)∵y＝(1－)(1＋)＝－＝x－－x，[来源:Zxxk.Com]∴y′＝(x－)′－(x)′＝－x－－x－.(2)y′＝()′＝＝＝.(3)y′＝()′＝＝＝.11.已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程．解：(1)由f(x)＝x3－3x得，f′(x)＝3x2－3，过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0，∴所求直线方程为y＝－2；[来源:学+科+网](2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x0，y0)，则f′(x0)＝3x02－3.[来源:学科网ZXXK]又直线过(x0，y0)，P(1，－2)，故其斜率可表示为＝，又＝3x02－3，即x03－3x0＋2＝3(x02－1)·(x0－1)，解得x0＝1(舍)或x0＝－，故所求直线的斜率为k＝3×(－1)＝－，∴y－(－2)＝－(x－1)，即9x＋4y－1＝0.12．(年高考海南、宁夏卷)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，于是解得故f(x)＝x－.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－)．令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为S＝|－||2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
