1.3.2奇偶性(一)自主学习1．掌握函数的奇偶性的定义和判断方法．2．理解奇函数和偶函数的图象的特点．1．阅读课本内容填写下表：奇函数f(x)偶函数g(x)定义域的特点关于原点对称关于原点对称图象特点关于原点成中心对称图形关于y轴成轴对称图形解析式的特点f(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)2.(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)等于0.(2)有没有既是奇函数又是偶函数的函数？举例说明．f(x)＝0，x∈[－1,1]．对点讲练函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝＋；(4)f(x)＝.解(1)函数的定义域为R.f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．(2)函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(3)由，得x＝±1，此时f(x)＝0，x∈{－1,1}．∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(4) ∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．此时f(x)＝＝.又f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)＝为奇函数．规律方法(1)用定义判定函数奇偶性的一般步骤为：①先求定义域，考查定义域是否关于原点对称；②有时需在定义域内对函数解析式进行变形、化简，再找f(－x)与f(x)的关系；判断函数奇偶性可用的变形形式：若f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)为奇函数；若f(－x)－f(x)＝0，则f(x)为偶函数．(2)奇(偶)函数的性质①f(x)为奇函数，定义域为D，若0∈D，则必有f(0)＝0；②在同一个关于原点对称的定义域上，奇函数＋奇函数＝奇函数；偶函数＋偶函数＝偶函数；奇函数×奇函数＝偶函数；偶函数×偶函数＝偶函数．变式迁移1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝－|x|；(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(3)f(x)＝＋.解(1)既是奇函数，又是偶函数． f(x)＝0，f(－x)＝0，∴f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)．(2)函数的定义域为R， f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．(3)由知x＝1，∴函数f(x)的定义域为{1}，不关于原点对称．故f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．分段函数奇偶性的证明【例2】已知函数f(x)＝，判断f(x)的奇偶性．解(1)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3＝－f(x)．(2)当x>0时，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)，综上可知f(x)为奇函数．规律方法(1)对于分段函数奇偶性的判断，须特别注意x与－x所满足的对应关系，如x>0时，f(x)满足f(x)＝－x2＋2x－3，－x<0满足的不再是f(x)＝－x2＋2x－3，而是f(x)＝x2＋2x＋3.(2)要对定义域内的自变量都要考察，如本例分为两种情况，如果本例只有(1)就说f(－x)＝－f(x)，从而判断它是奇函数是错误的、不完整的．(3)分段函数的奇偶性判断有时也可通过函数图象的对称性加以判断．变式迁移2判断函数f(x)＝的奇偶性．解当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x－1＝－(x＋1)＝－f(x)，另一方面，当x>0时，－x<0，f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)＝－f(x)，而f(0)＝0，∴f(x)是奇函数．抽象函数奇偶性的判断【例3】已知函数f(x)，x∈R，若对任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)．求证：f(x)为奇函数．证明设a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0.又设a＝－x，b＝x，则f(0)＝f(－x)＋f(x)．∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．规律方法抽象函数奇偶性的判定是根据定义，即寻求f(x)与f(－x)的关系，需根据这样的目标，认真分析函数所满足的条件式的结构特征，灵活赋值．变式迁移3函数f(x)，x∈R，且f(x)不恒为0.若对于任意实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)．求证：f(x)为偶函数．证明令x1＝0，x2＝x，则得f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)①又令x1＝x，x2＝0，得f(x)＋f(x)＝2f(x)f(0)②由①、②得f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．1．在奇函数与偶函数的定义域中，都要求x∈D，－x∈D，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称．如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的条件．2．解题中可以灵活运用f(x)±f(－x)＝0对奇偶性作出判断．3．奇函数f(x)若在x＝0处有意义，则必有f(0...
