第六章 二次型VIP免费

•二次型及其标准形•正定二次型与正定矩阵第六章二次型第六章二次型二次型，作为矩阵的四大名标（四大矩阵标量函数）之一，经常出现在物理、力学等学科中。对它的研究最早发轫于高斯的《数论研究》，该书第5章讨论了二次型的理论，目的旨在确定一个给定整数能否表示为特殊的形式。之后柯西在进行二次曲二次曲面面的研究时发现需要寻找一个坐标变换将二次型变成只含平方项的形式，即二次型的标准形二次型的标准形。§1、二次型及其标准形一、二次型的定义(,)(,),kftxtytfxytR在高中数学课程中我们就学习过圆锥曲线圆锥曲线，比如椭圆、、双曲线、抛物线等，从代数上看，它们的方程分别为2222(,)1,(,)1,yxabfxyfxyxy实际上，它们是高等数学课程中学习过的的二元次齐次函数二元次齐次函数，即有k2k12(,,)nffxxx定义定义11称元的二次齐次函数n为元二次型元二次型，简称为二次型二次型。我们只学习系数和未知数全为实数的所谓实二次型实二次型。n,1()nijiiijjijjaxaxa2111121211nnfaxaxxaxx21122nnnnnnnaxxaxxax22121222232322nnaxxaxaxxaxx11111221()nnxaxaxax1122()nnnnnnxaxaxax22112222332()nnxaxaxaxax11112212112222121122[,,,]nnnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxxxxaxaxax1112112122221212[,,,]nnnnnnnnaaaxaaaxxxxaaax所以，元的二次型与对称矩阵一一对应一一对应，因此称为二次型的矩阵二次型的矩阵，称为对称矩对称矩阵的二次型阵的二次型。二次型的秩二次型的秩就是对应矩阵的秩。所以，“实二次型就是实对称矩阵”。nAfAAf,TfxAx如果令12[,,,],TnijnnxxxxAa则这里.TAA112312323123(,,)(,,)456.789xfxxxxxxxx例例22求下面的二次型所对应的矩阵：解解：112312323123(,,)(,,)456.789xfxxxxxxxx112312312323(47,258,369)xxxxxxxxxxxx22212312132359(24)(37)(68)xxxxxxxxx所求矩阵为112323551(,,)5.37379xxxxxx155337579TfxAx一般地，一般地，二次型（未必是对称矩阵）对应的矩阵是A1().2TAA因为(,)TTTTTxAxxAxxAx所以1().22TTTTTTAAfxAxxAxxAxxx并且易知是对称矩阵。2TAA对应只含有平方项的二次型(即标准形标准形)显然，作为特殊的矩阵，对角矩阵12(,,,)nDdiagddd2221122.nnfdydydy如果，则标准形中非零系数的个数为反之亦然。()rDr.r显然有了标准形，好多问题一目了然。联想到实对称矩阵必可对角化，所以对给定二次型，我们的中心问题就是确定一个满秩矩阵使得通过保秩的线性变换fPxPy2221122nTnyDyfdydydy将二次型化为新变量的标准形12,,,nyyyf因此问题变成能否找到满秩矩阵，使得PTPAPD也就是所谓相合对角化相合对角化的问题。()(())TTTTfxAxPyAPyyPAPy注意到TBPAP定义定义33对同阶的矩阵和，如果存在同阶的可逆矩阵（即满秩矩阵），使得ABP则称矩阵和是相合矩阵相合矩阵或合同矩阵合同矩阵，也称矩阵和相合相合或合同合同。按变换的观点，称矩阵相合变换相合变换或合同变换合同变换成，称为相合变相合变换矩阵换矩阵或合同变换矩阵合同变换矩阵。ABBBAAP显然，当为对角阵时，就是将相合对角化成了标准相合矩阵标准相合矩阵。此时有相合标相合标准形准形BDAD11()TTAPDPCDC由于对正交矩阵，有,而且总可以通过正交变换矩阵将实对称矩阵正交对角化为对角阵。因此正交变换既是特殊的相似变换，也是特殊的相合变换，是这两种变换集的交集。1TQQQQA根据前面的分析，我们可有下面的定理。定理定理44任意一个二次型均可以通过一个正交变换化成标准形，这里为正交矩阵，的对角元为的特征值。(主轴定理主轴定理)TfxAxxQyAQ12(,,,)ndiag...