数学建模ch_5 离散模型VIP免费

第五章离散模型离散模型是将实际问题直接抽象成离散的数、符号或图形，然后以离散数学为主要研究工具来解决的数学模型。连续模型进行离散化所得到的数学模型不在此讨论。一、过河问题问题有三名商人各带一名随从要乘一条小船过河，这条船每次最多只能容纳两个人，并且由于某种原因，商人们总是提防着随从们，预感到一旦在任何地方只要随从人数多于商人数，就会对商人构成危害。但是由于商人们控制着如何乘船的指挥权，所以商人们就可以制定一个过河方案，以确保商人们的安全。试求出这个方案。建模设在渡河过程中，此岸的商人个数为随从个数为以表示此岸的状态向量，即,x,y,xy,,0,1,2,3.Exyxy在中有一部分对商人是安全的，称为容许状态集合，记为即有E,S3,0,1,2,3;0,0,1,2,3,,1,2.Syyyyxyxyxyo12312在上图中,实点即表示为容许状态的集合.乘船的方案称为决策，仍然用向量来表示，即名商人和名随从同坐一条船.在这些决策中,有,xyxy,12.Dxyxy是符合条件的，称为容许决策。容许决策的全体组成集合构成容许决策的集合，记为.D在这个问题中，容许决策的集合为小船从此岸到彼岸的一次航行，会使两岸的状态发生一次变化，此称为状态的转移。用123,,,,,,sxysxysxy表示状态的转移。其中用表示在状态下的决策。当为奇数时，表示从此岸到彼岸，当为偶数时，表示从彼岸到此岸。所以,1,2,3,isSi,idxyisii11.iiiissd⑴公式⑴称为状态转移公式。所以，该问题转变成寻找一系列的决策使状态按⑴由初始状态经过有限次的转移达到,idD,1,2,3,isSi.ns建立坐标系统，并在坐标平面上建立的刻度单位。做网格线，网格线上的每一个交点代表一个状态（用实点表示）。黄色曲线弧表示向彼岸渡人，绿色曲线弧表示从彼岸返回。容许决策表现为从一个实点向另一个实点的转移。当为奇数时，容许决策表现的是向下及向左的移动，当为偶数时容许决策表现的是向上及向右的移idii解模13,3sxyo12312动。整个状态的转移用下面的表格来表示。序号状态决策序号状态决策1728394105116123,30,20,13,23,10,23,00,13,12,01,11,12,22,00,20,10,30,20,10,10,20,20,0分析从上表中可以看到，该方案是可行的。二、差分方程本节介绍离散模型中的一种重要类型——差分方程及相应的解法.1.差分方程离散模型的基本形式是:下一变量为由当前值、先前值及构成的函数,即t1110,,,,,,nnnXfXXXXt⑴方程⑴称为差分方程.例1某产品当年的产量与前一年的产量关系为:当年产量在去年产量增加则相应的差分方程为15%,110.15.nnXX一类比较简单的差分方程为1.nnXaXb⑵具体形式为:10,XaXb22101,XaXbaXab323201,XaXbaXaab11101nnnnXaXaaab1101/11.nnaXabaa在差分方程⑴中,若仅有的值,即方程⑴具有形式nX1,,nnXfXt⑶则方程称为一阶差分方程.若只有的值,则方程称为二阶差分方程.一般差分方程的阶定义为出现在方程中最高阶与最低阶的差值.例如一个二阶线性方程为1,nnXX11.nnnXaXbXfn所谓同类线性差分方程指的是方程具有形式110.nnnXaXbX⑷而方程21123nnnXXXn则不是同类方程.例2设在一场战斗中,交战双方为军和军,军的一个单位一次可摧毁军的个单位,军的一个单位可摧毁的个单位.设经过次战斗后,所剩下的人数,则有ABABaBAbn,nnAB1,nnnAAbB1.nnnBBaA此是由两个变量关连的差分方程,经过转化,方程可变为21210,nnnAAabA由此得到的是一个二阶的差分方程.对与给定的初始值经过若干次的迭代,最终能求出01,,AA.nA应用拥有10000人的军和拥有5000人的展开一场战斗,军的杀伤力为军的杀伤力为用上式预测战斗结果.ABA0.1,aB0.15,b分析为使问题简化,以1000人为一个单位,即0010,5,AB代入上式,有结果-0.160.611.397.557.657.8686542.213.08458.198.659.25...