【创优导学案】届高考数学总复习第二章函数与导数2-11课后巩固提升（含解析）新人教A版(对应学生用书P353解析为教师用书独有)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．下列函数求导运算正确的个数为()①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝；③(ex)′＝ex；④′＝x；⑤(xex)′＝ex＋1.A．1B．2C．3D．4解析B因为(3x)′＝3xln3，′＝－，(xex)′＝ex＋xex，故①④⑤错．2．已知函数f(x)＝－cosx＋lnx，则f′(1)的值为()A．sin1－1B．1－sin1C．1＋sin1D．－1－sin1解析C∵f(x)＝－cosx＋lnx，∴f′(x)＝＋sinx，可得f′(1)的值为1＋sin1.3．已知曲线y＝x2－3lnx的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为()A．－3B．2C．－3或2D.解析B令y′＝x－＝－，得x＝2或x＝－3.∵x>0，∴x＝2.4．(·洛阳模拟)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(1)＝()A．－1B．－2C．1D．2解析Bf′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，得f′(1)＝2f′(1)＋2，∴f′(1)＝－2.5．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则为()A.B.C．－D．－解析D由y＝x3，得y′＝3x2，即该曲线在点P(1,1)处的切线的斜率为3.由3×＝－1，得＝－.6．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1解析A求导得y′＝2x＋a，因为曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线l的方程是x－y＋1＝0，所以切线l的斜率k＝1＝y′|x＝0.又点(0，b)在切线l上，于是有解得二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)7．曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________．解析∵y′＝ex＋xex＋2，y′|x＝0＝3，∴切线方程为y－1＝3(x－0)，即y＝3x＋1.【答案】y＝3x＋18．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．解析设切点坐标为(x0，ex0)，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝ex0，切点与原点连线的斜率k′＝.∵k＝k′，∴ex0＝，∴x0＝1，∴切点为(1，e)，k＝e.【答案】(1，e)e9．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．解析设切点坐标是(x0，x0＋1)，依题意有解得【答案】2三、解答题(本大题共3小题，共40分)10．(12分)求下列函数的导数：(1)y＝x2cosx；(2)y＝2xex－3x＋π；(3)y＝.解析(1)y′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2xcosx－x2sinx.(2)y′＝(2x)′ex＋2x(ex)′－(3x)′＝2xln2·ex＋2xex－3xln3＝(ln2＋1)(2e)x－3xln3.(3)y′＝＝.11．(12分)利用导数的定义求函数f(x)＝x3在x＝x0处的导数，并求曲线f(x)＝x3在x＝x0处的切线与曲线f(x)＝x3的交点．解析f′(x0)＝lim＝lim＝lim(x2＋xx0＋x)＝3x.曲线f(x)＝x3在x＝x0处的切线方程为y－x＝3x·(x－x0)，即y＝3xx－2x，由得(x－x0)2(x＋2x0)＝0，解得x＝x0，x＝－2x0.若x0≠0，则交点坐标为(x0，x)，(－2x0，－8x)；若x0＝0，则交点坐标为(0,0)．12．(16分)设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.(1)求y＝f(x)的解析式；(2)证明曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求此定值．解析(1)∵f′(x)＝a－，∴解得或∵a，b∈Z，∴∴f(x)＝x＋.(2)在曲线上任取一点，由f′(x0)＝1－知，过此点的切线方程为y－＝(x－x0)．令x＝1，得y＝，∴切线与直线x＝1的交点为.令y＝x，得y＝2x0－1，∴切线与直线y＝x的交点为(2x0－1,2x0－1)．又∵直线y＝x与x＝1的交点为(1,1)，∴所围三角形的面积为·|2x0－1－1|＝2，∴所围三角形的面积为定值2.
