(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．已知f(n)…＝＋＋＋＋，则()A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋解析：项数为n2－(n－1)＝n2－n＋1.答案：D2．利用数学归纳法证明不等式1…＋＋＋＋，1＋＋>1,1…＋＋＋＋>，1…＋＋＋＋>2,1…＋＋＋＋>，…，由此猜测第n个不等式为____________(n∈N*)．解析：3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1…＋＋＋＋>.答案：1…＋＋＋＋>8．如图，这是一个正六边形的序列：则第n个图形的边数为________．解析：第(1)图共6条边，第(2)图共11条边，第(3)图共16……条边，，其边数构成等差数列，则第(n)图的边数为an＝6＋(n－1)×5＝5n＋1.答案：5n＋19．(·青岛模拟)若数列{an}的通项公式an＝，记cn＝2(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算c1，c2，c3的值，推测cn＝________.解析：c1＝2(1－a1)＝2×(1－)＝，c2＝2(1－a1)(1－a2)＝2×(1－)×(1－)＝，c3＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝2×(1－)×(1－)×(1－)＝，故由归纳推理得cn＝.答案：三、解答题10．数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．解：(1)a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，由此猜想an＝(n∈N*)．(2)证明：当n＝1时，a1＝1，结论成立．假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，结论成立，即ak＝，那么n＝k＋1(k≥1且k∈N*)时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1.∴2ak＋1＝2＋ak.∴ak＋1＝＝＝，这表明n＝k＋1时，结论成立．∴an＝(n∈N*)．11．(·江苏高考)已知△ABC的三边长都是有理数．(1)求证：cosA是有理数；(2)求证：对任意正整数n，cosnA是有理数．证明：(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知cosA＝是有理数．(2)用数学归纳法证明cosnA和sinA·sinnA都是有理数．①当n＝1时，由(1)知cosA是有理数，从而有sinA·sinA＝1－cos2A也是有理数．②假设当n＝k(k≥1)时，coskA和sinA·sinkA都是有理数．当n＝k＋1时，由cos(k＋1)A＝cosA·coskA－sinA·sinkA，sinA·sin(k＋1)A＝sinA·(sinA·coskA＋cosA...
