10证明含lnx的不等式的一小技巧——分离出lnxVIP免费

证明含“xln”的不等式的一个小技巧——分离出“xln”题1(2010年高考全国卷I理科第20(2)题)已知函数1ln)1()(xxxxf，证明：0)()1(xfx.证法1可得21))((,0ln1)(xxxfxxxf.进而可得01)1()(minfxf，所以)(xf是增函数.当10x时，得0)1()(fxf，所以0)()1(xfx；当1x时，得0)1()(fxf，所以0)()1(xfx.总之，欲证结论成立.证法2得11ln)1()(xxxxxf，设11ln)(xxxxg，得)0(0)1(1)(g22xxxxx，所以)g(x是增函数.当10x时，得0)(,0)1()(xfgxg，所以0)()1(xfx；当1x时，得0)(,0)1()(xfgxg，所以0)()1(xfx.总之，欲证结论成立.注本题是涉及“一个多项式”与“xln”的积的函数.对于这类函数，一般来说，每求一次导数，多项式的次数就降低一次，但最终的导数须化成不含“xln”的式子.在证法1中涉及“xxln)1(”，所以须两次求导，才能化成不含“xln”的式子；在证法2中涉及“xln1”，所以只须一次求导，即可化成不含“xln”的式子.显然证法2要简捷些，所以我们在解决这类问题时，要尽可能把“axa(ln是非零常数)”分离出来.题2(2011年高考全国新课标卷文科第21(2)题)已知0x且1x，求证1ln11lnxxxxx.证明即证0(01ln2112xxxxx且1x).设0(1ln2)(xxxxxf且1x)，得0(01)(2xxxxf且1x)，得)(xf在(0,1),),1(上均是减函数.当10x时，得0)1()(fxf，所以01ln2112xxxx；当1x时，得0)1()(fxf，所以01ln2112xxxx.总之，欲证结论成立.注本题若是用分析法先去分母，则须多次求导.在解答后面的四道例题时也是这样的.题3(2013年高考北京卷理科第18题)设L为曲线C：y＝lnxx在点(1，0)处的切线．(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方．解(1)(过程略)L的方程为y＝x－1.(2)即证1lnxxx(当且仅当1x时取等号)，也即证0ln2xxx(当且仅当1x时取等号).设xxxxgln)(2，可得)0)(1(12)(xxxxxg.进而可得0)1()(mingxg，所以欲证结论成立.注对于第(2)问，官方所给的参考答案是：即证1lnxxx(当且仅当1x时取等号).设xxxxgln1)(，得g′(x)＝x2－1＋lnxx2)0(x.当01时，x2－1>0，lnx>0，所以g′(x)>0，得g(x)单调递增．所以0)1()(mingxg，得欲证结论成立.显然这种证法难度要大不少.题4已知函数2)1ln()(xxxxf.(1)讨论)(xf的单调性；(2)求证：当),2()2,1(x时，2)(xf.解(1)可得2)2(111)1ln(2)(xxxxxf.设111)1ln(2)(xxxxh，得012)(2xxxh，又0)2(h，所以函数)(xf在),2(),2,1(上分别是减函数、增函数.(2)即证当),2()2,1(x时，024)1ln(2xxxx.设)),2()2,1((24)1ln()(xxxxg，得0)1()2()(22xxxxg，所以)(xg是增函数.又0)2(g，所以：当)2,1(x时，0)(xg，进而可得欲证成立；当),2(x时，0)(xg，进而也可得欲证成立.所以欲证成立.注在解答本题的两问时，均注意了把“axa(ln是非零常数)”分离出来，所以只须一次求导即可.题5求证：412ln(1)1xxxxx.证明这里只证右边.设1()ln(1)fxxxxx，可得2(1)()0(1)2xfxxxx所以()(1)fxx是增函数，得()(1)0(1)fxfx，得欲证成立.题6已知函数)0()(2aaxaxxf和xxgln)(的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，求切点P的坐标.解得()2fxaxa，1()gxx.设切点坐标为(,)st，其中0s.由题意，得2lnasass①12asas②由②，得1(21)ass.由0a，得12s.再由①，得1ln21sss③设函数1()ln21xFxxx，1(,)2x，得2(41)(1)()(21)xxFxxx令()0Fx，解得1x或14x(舍).当x变化时，()Fx与()Fx的变化情况如下表所示，x1(,1)21(1,)()Fx0()Fx↗↘所以当1x时，()Fx取到最大值(1)0F，且当1(,1)(1,)2x时()0Fx.因此，当且仅当1x时()0Fx.所以方程③有且仅有一解1s.于是ln0ts，因此切点P的坐标为(1,0).题7(1)(2012年高考辽宁卷文科第21题)设1ln)(xxxf，证明：(i)当1x时，)1(23)(xxf；(ii)当13x时，5)1(9)(xxxf.(2)(2012年高考辽宁卷理科第21(2)题)证明：当02x时，9ln(1)116xxxx.证明(1)(i)可设)1(ttx，可得即证)1(0123ln42tttt设)1(123ln4)(2tttttg，可得)1(0)1()23(2)(tttttg，所以)(tg是减函数，得)1(0)1()(tgtg，即欲证结论成立.(ii)可设(13)xtt，得即证221042ln0(13)5ttttt设)31(5410ln2)(22ttttttg，因为欲证即)31)(1()(tgtg，所以只需证明)(tg是减函数，即证)31(0)(ttg.因为)31()5(108)5)(2()(...