高等数学上3.7平面曲线的曲率VIP免费

上页下页结束返回首页第七节曲线的弯曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有关主要内容:一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径MMM平面曲线的曲率第三章上页下页结束返回首页一、弧微分设在(a,b)内有连续导数,其图形为AB,弧长)(xsAMsxsMMMMxMMMMMMxyx22)()(MMMM2)(1xyxsxsx0lim)(2)(1yxAB)(xfyabxoyxMxxMy1lim0MMMMx上页下页结束返回首页则弧长微分公式为tyxsdd22xysd)(1d2或22)(d)(ddyxsxxdxdxoyxMydT几何意义:sdTM;cosddsxsinddsy若曲线由参数方程表示:)()(tyytxx上页下页结束返回首页二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．1M3M)22M2S1SMM1S2SNN)弧段弯曲程度越大转角越大转角相同弧段越短弯曲程度越大1、曲率的定义1)弧段弯曲程度与有关.转角、弧段长度上页下页结束返回首页)SS).M.MC0Myxo.sKMM的平均曲率为弧段（设曲线C是光滑的，.0是基点M,sMM（.切线转角为MM定义sKs0lim曲线C在点M处的曲率,lim0存在的条件下在dsdss.dsdK上页下页结束返回首页2、曲率的计算公式注意:(1)直线的曲率处处为零;(2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.（课本P170）,)(二阶可导设xfy,tany,12dxyyd.)1(232yyk,arctany有.12dxyds)SS).M.MC0Myxo上页下页结束返回首页例1(P171-2)?2上哪一点的曲率最大抛物线cbxaxy解,2baxy,2ay.])2(1[2232baxak显然,,2时当abx.最大k,)44,2(2为抛物线的顶点又aacbab.最大抛物线在顶点处的曲率上页下页结束返回首页三、曲率圆与曲率半径定义D)(xfyMk1处的称此圆为曲线在点如图作圆为半径为圆心以使在凹的一侧取一点处的曲线的法线上在点MDkDMDM),(,.1,,,曲率中心D.1曲率半径kxyo).0(),()(kkyxMxfy处的曲率为在点设曲线.曲率圆上页下页结束返回首页1.有共同的切线，亦即圆与曲线在点M处相切.曲率圆与曲线在点M处有以下关系：2.有相同的曲率.3.因此，圆和曲线在点M处一阶导数相同、二阶导数同号.D)(xfyMk1xyo上页下页结束返回首页例xyoQP.,.70,/400,)(40002压力飞行员对座椅的到原点时求俯冲千克飞行员体重秒米处速度为点在原俯冲飞行单位为米飞机沿抛物线vOxy例例例例例例例,PQF例例例例例例例例例例例例例.2mvF例例例例例例例例例例例例上页下页结束返回首页002000xxxy,0.200010xy得曲率为.200010xxk曲率半径为.2000米2000400702F),(4.571)(5600千克牛),(4.571)(70千克力千克力Q).(5.641千克力即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.上页下页结束返回首页运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支——微分几何学.小结1.弧长微分xysd1d2或22)(d)(ddyxs2.曲率公式sKdd23)1(2yy3.曲率圆曲率半径KR1yy23)1(2上页下页结束返回首页思考题椭圆上哪些点处曲率最大？,cos2txtysin3思考题解答232])(1[||yyk2322)cos9sin4(6tt232)cos54(6t要使最大，k232)cos54(t必有最小，23,2t此时最大，kyx3232上页下页结束返回首页,),(),(二阶可导设tytx.)]()([)()()()(2322ttttttk,)()(ttdxdy.)()()()()(322tttttdxyd补充:参数方程曲率公式上页下页结束返回首页作业:P177:2,5,8上页下页结束返回首页选讲：曲率圆与曲率半径Tyxo),(DR),(yxMC设M为曲线C上任一点,在点在曲线KRDM1把以D为中心,R为半径的圆叫做曲线在点M处的曲率圆(密切圆),R叫做曲率半径,D叫做曲率中心.在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M处作曲线...