第二讲 随机变量函数的数学期望、期望的性质VIP免费

第三章随机变量的数字特征随机变量的数学期望（2）第二讲我们经常要求随机变量函数的数学期望，例如飞机的机翼受到的压力是风速的二次函数如果知道风速这个随机变量的分布情况，需要求压力的数学期望，就是求随机变量函数的数学期望。2、随机变量函数的数学期望设X为随机变量，Y=g(X),g(x)是连续函数{}1,2,kkPXxpk（1）若离散型随机变量X的分布律为1()[()]()kkkEYEgXpgx则（2）若连续型随机变量X的概率密度为f(x)()[()]()()EYEgXgxfxdx则例1设随机变量X的分布律为X-10123P0.20.20.20.10.3求E(X)及E(X2)解：()10.200.210.220.130.3EX1.1222222()(1)0.200.210.220.130.3EX3.5例2设风速V在(0,a)上服从均匀分布，即密度函数1(0,)()0vafva其它又设飞机机翼受到的正压力W是V的函数W=kV2,求W的数学期望。解：2()()EWkvfvdv213ka201akvdva例3某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量。他们估计出售一件产品可获利m元,而积压一件产品导致n元的损失。再者，他们预测销售量Y(件)服从指数分布，概率密度为问若要获得利润的数学期望最大，应生产多少件产品？(m,n,均为已知)10()00yYeyfyy解：设生产x件，则获利Q是x的函数(),(),mYnxYYxQQxmxYxQ是随机变量，且是Y的函数，数学期望为()()YEQQfydy011[()]xyyxmynxyedymxedy()()xmnmnenx()()()xEQmnmnenx()()xdEQmnendx()0lndEQnxdxmn令，得是唯一驻点22()0xdEQmnedxln()nxEQmn故知当时取得最大值1000010()1000000yYeyfyy例如，若m=500元，n=2000元，则200010000ln5002000x2231.4故取产量x=2231件，可使得利润的数学期望取得最大值。3、数学期望的性质(1)设C为常数，则E(C)=C(2)设X是一随机变量，C为常数，则有E(CX)=CE(X)(3)设X、Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)1212()()()()nnEXXXEXEXEX可推广为(4)设X、Y是两个相互独立随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y)例4一空港巴士载有20位旅客自机场开出，沿途有10个车站可以下客。如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X表示停车的次数，求X的数学期望（假设每位旅客在各个车站下车是等可能的，且各位旅客是否下车相互独立）。解：引入随机变量0,1iiXi在第站没有人下车，在第站有人下车1,2,,10i1210XXXX易知209{0}10iPX任一旅客在第i站下车的概率为1/10，在第i站不下车的概率为9/10。因此，第i站没人下车的概率为第i站有人下车的概率为209{1}110iPX202020999()0111101010iEX1,2,,10i1210()()EXEXXX1210()()()EXEXEX209101108.784即该空港巴士在到达目的地的途中平均停车8.784次。例5求二项分布随机变量X~b(n,p)的数学期望解：10iiXi第次试验成功设第次试验失败12nXXXX则+()10(1)iEXppp()EXnp故1(0,1,2,,)nkkknPXkCppkn二项分布的分布律为00()1nnnkkkknkkEXkpkCpp用计算较麻烦小结:1、离散型随机变量函数g(X)的数学期望1[()]()kkkEgXpgx2、连续型随机变量函数g(X)的数学期望[()]()()EgXgxfxdx3、数学期望的性质E(aX+b)=aE(X)+ba,b为常数E(X+Y)=E(X)+E(Y)若X、Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y)