符号法《数学物理方法》课件,完整清晰VIP专享VIP免费

数学物理方法数学物理方法第六章拉普拉斯变换1、符号法2、拉普拉斯变换3、拉普拉斯变换的反演4、应用例数学物理方法拉普拉斯变换理论（又称为运算微积分，或称为算子微积分）是在19世纪末发展起来的。首先是英国工程师亥维赛(O.Heaviside)发明了用运算法解决当时电工计算中出现的一些问题，但是缺乏严密的数学论证。后来由法国数学家拉普拉斯(P.S.Laplace)给出了严密的数学定义，称之为拉普拉斯变换方法。拉普拉斯变换在电学、光学、力学等工程技术与科学领域中有着广泛的应用。数学物理方法6.1.1符号法运算微积的原始形式是符号法。函数()t的n阶导数可以看成求导算符dpdt在函数()t上作用n次的结果，()()nnndpttdt。算符p的“倒数”1p则解释为积分算符，01()()ttdp，例如0111tdtp。依次类推11!nntpn(6.1.1)6.1符号法数学物理方法亥维赛把符号法应用于求解线性微分方程，大大的推广了符号法的应用。例如，电阻R和自感串联L电路的微分方程为：()dLRIUdt（6.1.2）亥维赛把上式改写为1.UILpR（6.1.3）上式中算符出现在分母中本没有意义，但亥维赛把上式展开，并逐项应用(6.1.1)，得到数学物理方法11111UUIRLpRLpLp23223311111URRRLpLpLpLp23223322332311112!3!URRRRLpLpLpURRtRttRLLL(/){1}RLtUeR11!nntpn0!kzkzek数学物理方法亥维赛取的的成绩使当时的数学家大为吃惊！但亥维赛也作出了一系列计算错误，乃是没有注意到p和1p的次序不可交换，01()'()()(0)tpftfdftfp01()()()tdpftfdftpdt后来，人们发现符号法和拉普拉斯变换的联系，符号法才脱离了粗糙的形式而建立在拉普拉斯变换的基础上，通常称之为运算微积。在运算微积中，字母p不再解释为算符，而代表一个复变数。数学物理方法6.2.1拉普拉斯变换的定义上一章指出，傅里叶积分与傅里叶变换存在的条件是原函数在任意有限区间都满足狄里希利条件，并是绝对可积的。这是相当强的一个条件，以致于许多常见的函数（例如多项式、三角函数等）都不满足这条件。这章介绍另一种常见变换－拉普拉斯变换，其变换存在的条件要宽松。拉普拉斯变换常用于初始值问题，即知道某个物理量在初始时刻0t的值(0)f，而求解其后任意时刻的变化情况()ft，至于初始时刻之前的值，并不感兴趣，不妨设()0.(0)ftt（6.2.1）6.2拉普拉斯变换数学物理方法为了获得宽松的变换条件，把()ft加工为()gt，()()tgteft（6.2.2）这里的te是收敛因子，是为了保证()gt在区间(,)上绝对可积。于是，对()gt施展傅里叶变换()011()()()22iittGgtedtftedt将i记为p，并将()G记作()/2fp，则0()()ptfpftedt（6.2.3）这是一种由实函数()ft通过变换得到的复变函数，这种变换就是拉普拉斯变换。数学物理方法定义：某函数()ft在0t上有定义，且积分0()()ptfpftedt（p为复参量）对复平面上某区域p收敛，则积分确定的函数0()()ptfpftedt称为()ft的拉普拉斯变换函数。上式中积分0()ptftedt称为拉普拉斯积分，pte称为拉氏变换的核。常用简单符号表示拉氏变换：()[()]fpLft（6.2.4）数学物理方法综合傅里叶变换和拉氏变换，傅氏变换的像函数是一个实自变量的复值函数，拉氏变换的像函数则是一个复自变量()pi的复值函数。由前推导可见，拉氏变换实际上是()()tfteHt的傅里叶变换，它是一种单边广义傅里叶变换。单边指积分区间为(0,)，广义指它要乘上()(0)teHt再做傅里叶变换。例6.1.1计算[1]L。解：在Re0p（即0）的半平面上01[1]1(Re0)ptLedtpp数学物理方法例6.1.2计算[]Lt。解：在Re0p（即0）的半平面上0000201dd()11=[]d11=d,ptptptptpttettepteetppetpp21[]=(Re0)tppL推广：1![]nnnLtp数学物理方法例6.1.3计算[]stLe，s为常数解：在ReReps的半平面上()00stptpsteedtedt故1[]stLeps...