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代数系统简介这部分内容属于近世代数的范畴，近世代数是研究具有运算的集合，它第一次揭示了数学系统的多变性与丰富性。代数结构理论可用于计算机算法的复杂性分析，研究抽象数据结构的性质及操作，同时也是程序设计语言的理论基础。我们将介绍代数系统的最基本概念和最基本理论，以及几类常用的代数系统，它们是：半群，幺半群，群，环，域，格和布尔代数。本课程在第五，六章中介绍代数系统的内容。第五章代数系统的一般性质第一节二元运算及性质内容：二元运算，运算律，特殊元素。重点：(1)一元和二元运算的概念，(2)二元运算律(结合律，交换律，分配律)，(3)二元运算的特殊元素(幺元，零元，逆元)。一般：吸收律，消去律，幂等律。一、二元运算。1、定义：设上的二元运算(即s:fSSSS,xySxyS运算封闭)为集合，函数称为，，元运算，n:nfSSSS个掌握1n，2n，即一元，二元运算。一、二元运算。2、记号：用等符号表示二元运算，,,,称为算符。例如：,fxyzxyz记为(二元运算)()fab()ab记为(一元运算)但减法，除法不是。但除法不是。例1、(1)上的加法，乘法都是二元运算，N(2)上的加法，乘法，减法都是二元运算，Z上求相反数的运算是一元运算。Z(3)非零实数集上的乘法和除法都是二元运算。*R但加法，减法不是，而求倒数是一元运算。(4)表示所有阶实矩阵的集合()nMRn(2)n则矩阵的加法和乘法都是二元运算。，都是二元运算，(5)集合的幂集上的S()PS,,,而绝对补集(为全集)是一元运算。S(6)所有命题公式的集合上的,,,都是二元运算，而否定为一元运算。(7)表示集合上的所有函数的集合，函数的合成运算是上的二元运算。SSSSS3、一元，二元运算表。当为有穷集时，都可以用运算表给出。上的一元和二元运算SS例2、(1)设1,2S，给出上的运算绝对和对称差的运算表。~()PS补集解：(),1,2,1,2PS，“”为一元运算，~“”为二元运算，其运算表如下：例2、(2)设，定义二元运算如下：0,1,2,3,4SS上的两个()mod5xyxy(,)xyS()mod5xyxy(,)xyS求运算和的运算表。解：()mod5xy()mod5xy分别是，,xy的和与积除以5的余数，运算表如下：二、有关运算律。设是上的二元运算，,S,,xyzS1、若，则称在(或称满足交换律)xyyxS上可交换。2、若，则称在(或称满足结合律)()()xyzxyz上可结合。S二、有关运算律。设是上的二元运算，,S,,xyzS3、若()()()xyzxyxz()()()yzxyxzx则称运算对是可分配的。(或称对满足分配律)(2)矩阵的加法和乘法在上是可结合的，加法可交换，但乘法不可交换，乘法对加法()nMR是可分配的。例3、(1)普通的加法和乘法在,,,NZQR上都是可结合的，且是可交换的，乘法对加法是可分配的。(3)在幂集上可结合，可交换，,,()PS但是相对补不可结合，不可交换，和是互相可分配的。(4)在全体命题公式集合上可结合，可交换，,和是相互可分配的。三、一些特殊元素。设为上的二元运算，S1、幺元e：若，对则称eSxSexxex，e为运算的幺元。注：(1)若幺元存在必唯一。(2)若只有或只有lexxrxex，则le，称为左幺元或右幺元。re在上，矩阵加法的幺元是阶0矩阵，()nMRn矩阵乘法的幺元是阶单位矩阵。n在幂集()PS上，运算的幺元是，运算的幺元是全集S。例如：在上，加法的幺元是0，乘法的幺元是1。在,,,NZQR算没有幺元，只有右幺元0Z(0)xx上的减法运例4、在(非零实数集)上定义运算如下：*Raba(,*)abR则中的任何元素都是右幺元，*R但没有左幺元，使le(*)bRlebb，从而没有幺元。2、零元：若，对，SxSxx，则称为运算的零元。注：(1)若零元存在必唯一。(2)若只有，或只有llxrrx，则分别称为左零元或右零元。,lr如例4的任何元素都是左零元，(),*abaR从而也没有零元。但没有右零元r，例如：在上加法没有零元，乘法的零元是0。,,,NZQR在上矩阵加法没有零元，矩阵乘法的零元(...