函数曲线的凹凸性VIP免费

§6.6曲线的凹凸性与拐点及渐近线曲线的凹凸性定义凹凸性的判定曲线的拐点及其求法渐近线小结思考题作业一、曲线凹凸的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy图形上任意弧段位于所张弦的上方xyo)(xfy1x2x图形上任意弧段位于所张弦的下方ABC定义．的（或凸弧）上的图形是（向上）凸在那末称如果恒有的（或凹弧）上的图形是（向上）凹在那末称恒有点上任意两如果对上连续在区间设IxfxfxfxxfIxfxfxfxxfxxIIxf)(,2)()()2(;)(,2)()()2(,,,)(2121212121;)(],[)(,)(),(,],[)(的或凸内的图形是凹在那末称的或凸内的图形是凹且在内连续在如果baxfbabaxf二、曲线凹凸的判定xyo)(xfyxyo)(xfyabAB递增)(xfabBA0y递减)(xf0y定理1.],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(),(,),(,],[)(上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在一阶和二阶导数内具有在上连续在如果baxfxfbaxfxfbababaxf证20000)(!2)())(()()(xxfxxxfxfxf)(0之间与在xx)])(()([)(000xxxfxfxf即))(()()(000xxxfxfxf),,(0bax任取泰勒公式),,(bax处的切线在曲线0)(xxfy020)(!2)(xxf),(bax0)(xf若))(()()(000xxxfxfxf对12,(,)xxab，令120,2xxx则10010()()()()(1)fxfxfxxx20020()()()()(2)fxfxfxxx1100120()()2()()(2)fxfxfxfxxxx(1)(2)02()fx01112()()().22fxfxxxf即例1.3的凹凸性判断曲线xy解,32xy,6xy时，当0x,0y为凸的；在曲线]0,(时，当0x,0y为凹的；在曲线),0[.)0,0(点是曲线由凸变凹的分界点注意到,三、曲线的拐点及其求法连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.1、定义注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2、拐点的求法,0)(,)(00xfxxf且的邻域内二阶可导在设函数;))(,(,)()1(000即为拐点点变号两近旁xfxxfx.))(,(,)()2(000不是拐点点不变号两近旁xfxxfx方法1:例2.14334凹、凸的区间的拐点及求曲线xxy解),(:D,121223xxy).32(36xxy,0y令.32,021xx得x)0,(),32()32,0(032)(xf)(xf00凹的凸的凹的拐点拐点)1,0()2711,32().,32[],32,0[],0,(凹凸区间为思考：设)(xf在0x处具有三阶导数,且''0()0fx,0()0fx那末0x是否为函数)(xf的拐点？0000()()()limxxfxfxfxxx不妨000()fxx在两侧异号，0x是拐点。方法2:.)())(,(,0)(,0)(,)(00000的拐点线是曲那末而且的邻域内三阶可导在设函数xfyxfxxfxfxxf例3.)]2,0([cossin的拐点内求曲线xxy解,sincosxxy,cossinxxy.sincosxxy,0y令.47,4321xx得2)43(f,02)47(f,0内曲线有拐点为在]2,0[).0,47(),0,43(.)())(,(,)(000的拐点是连续曲线也可能点不存在若xfyxfxxf注意:例4.3的拐点求曲线xy解,0时当x,3132xy,9435xy.,,0均不存在是不可导点yyx,0,)0,(y内但在;]0,(上是凹的曲线在,0,),0(y内在.),0[上是凸的曲线在.)0,0(3的拐点是曲线点xy四、渐近线定义:.)(,,)(一条渐近线的就称为曲线那么直线趋向于零的距离到某定直线如果点移向无穷点时沿着曲线上的一动点当曲线xfyLLPPxfy1.铅直渐近线)(轴的渐近线垂直于x000lim()lim()()xxxxfxfxyfxxx如果或那么就是的一条铅直渐近线.例如,)3)(2(1xxy有铅直渐近线两条:.3,2xx2.水平渐近线)(轴的渐近线平行于xlim()lim()()()xxfxfxbybbxbfy如果或是常量那么就是的例如,arctanxy有水平渐近线两条:.2,2yy一条水平渐近线.3.斜渐近线lim[()]01lim[(())]0(,))()(xxfxfxaaxbaxbyaxbbyfx如果（）或是常量那么就是的斜渐近线求法:()lim,xfxaxlim[()].xfxbax.)(的一条斜渐近线就是曲线那么xfybaxy一条斜渐近线....