高二数学（第8讲）【教学内容、目标】6.46.5不等式的证明（一）（二）学习目标1、能灵活运用比较法两个数的大小。2、比较法可分为作差法和作商法，会用比较法证明不等式。3、会灵活应用综合法证明简单的不等式。4、掌握用分析法和反证法证题的思路和叙述方法。5、熟悉适合用分析法和反证法证明的不等式的题型。【知识讲解】1、比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法（简称作差法）和商值比较法（简称作商法）。2、“作差法”的理论依据是不等式的基本性质：“”，其一般步骤为“作差—变形—判断符号”。其中变形是作差法的关键，配方和因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”变形为一个常数，或一个常数与几个平方和形式（如例1），或几个因式的积（如例2），当所得的“差式”是某个字母的二次三项式时，则常用判别式法或配方法判断符号。3、“作商法”理论依据是：若，，则“”，其一般步骤为“作商—变形—判断商与数1的大小关系”。4、一般地，证明幂、指数不等式，常用作商法（如例4），证对数不等式，常用作差法。5、当“差”式或“商”式中含有字母时，一般需对字母的取值进行分类讨论。6、综合法是指从已证不等式或问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”。7、分析法是指从要证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那些条件是否具备。其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。8、分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握，而综合法的优点是易于表述，条理清晰，形式简洁。因而证不等式时，常用分析法寻找解题思路，再用综合法有条理地表达证题过程。9、有时解题，需一边分析，一边综合，称之分析综合法，或称两头凑法（如例2）。两头挤法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辨证统一关系。分析的终点用心爱心专心是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点。10、用反证法证明不等式，常从否定结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾，从而肯定命题成立。但要注意对结论的反面要一一否定，不能遗漏，方能得出原不等式成立。【典型例题分析】例1：已知：，求证：。分析：左一右=。当时，前两项为正，最后一项为负，如何使得三项之和为正，成为问题的关键，需采用“拆”的技巧，把第三项并入前两项中去，于是想到，问题便迎刃而解。证明：左一右==。，。因此：说明：恰当地“分拆”与“组合”是最常用的技巧，主要用于作差变形后的因式分解方面。例2：已知、，且，求证：。证明：，。又、，。。例3：已知，均为正实数，且，求证：。分析：由于所比较的两式均为单项式，且为正值，故可作商与1比较，其中要用到指数函数性质，并由题意条件，得出与同号，再作分类讨论。证明：，由得：或用心爱心专心⑴当时，有。⑵当时，有。说明：①当所比较的两式均为多项式时，常用作差法与“0”比较；当所比较的两式均为单项式（或乘积时），常用作商法与“1”比较，但应注意除数应为正值。②两式均出现了4个字母、、、，变形为后，把与看做两个整体字母，便减少了字母讨论的个数，代换的思想得到了体现。③类似的问题还有：（Ⅰ）若，，则；（Ⅱ）若，则；（Ⅲ）若，，则以上不等式均可用作商法加以证明。例4：设，求证：。分析：可用作差比较法或作商比较法进行证明的。证明：用作差法证：左边一右边=。原不等式成立。用作商法证：原不等式成立。例5：设、、为不全相等的正数，试证：。证明：左边。、、为不全相等的正数。，中的等号不可能同时成立，，用心爱心专心。说明：基本不等式和不等式的基本性质是用综合法证明不等式的基础，常用的基本不等式有：，，同号，，等。例6：若求的最小值。错解：，而且仅当，即时，上式等号成立。，，即当时，取最小值。点击：当我们使用均值不等式求函数最值时，需要验证是否符合“一正（或符号相同）二定、三相等”的条件，...
