第12课时 异面直线（三）VIP免费

第12课时异面直线（三）教学目标：熟练掌握反证法的证题步骤，会用反证法证明简单的问题，掌握异面直线的证明方法；通过对简单问题的证明，使学生掌握证题规律、方法和步骤，并从中学会认识事物、分析问题、转化矛盾.教学重点：反证法、异面直线的证明教学难点：反证法、异面直线的证明.教学过程：Ⅰ.课题导入［师］上节课我们在研究异面直线所成的角与异面直线间距离的定义的基础上，通过具体问题，讨论了异面直线所成角与异面直线的距离的计算.清楚了求角、求距离的关键是——［生甲］求异面直线所成角的关键是找到一个恰当的点，通过平移，把异面直线所成的角化为相交直线所成的角，然后在含这个角的某一三角形中，运用解三角形的知识，求得角的大小.［生乙］求异面直线的距离，关键是找到含公垂线段在内的某一三角形，仍是运用解三角形的知识，求得线段的长.［生丙］角所在的三角形，线段所在的三角形，都要能较好的联系已知，这两类问题解决的方法都是将空间问题化成了平面问题.［师］好！对这两类问题的解法，同学们都要切实增强化归意识，理清化归思路，具体问题具体分析，设法使所求与已知产生联系，寻求到好的解题途径.这节课我们来讨论异面直线的证明.Ⅱ.新课讨论［师］关于异面直线的证明，常用反证法，请同学们回忆一下，反证法是怎样的一种推理方法？［生］反证法是通过否定命题结论而导出矛盾来达到肯定命题结论的一种推理方法.［师］反证法证题的步骤是怎样的？［生］首先假设结论的反面成立，其次在假设的基础上，按照正确的推理，推出矛盾(与已知矛盾、与真命题矛盾、与定理公理矛盾、自相矛盾等)，第三否定假设肯定结论.［师］好！下面我们来看个例子.［例1］求证：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.［师］为了证题过程表述的方便，先把文字语言写成符号语言.［生］已知：aα、A∈α、B∈α、B∈a.求证：直线AB和a是异面直线.［师］观察原题、图形，已知、求证写得正确吗？［生］正确.［师］好.下面我们一起用反证法来给出证明.证明：假设直线AB和a共面于β.即ABβ，aβ于是A∈β，B∈β aα，B∈α，B∈a∴过a和B有且仅有一个平面于是α与β是同一平面，即α＝β由假设知A∈β，∴A∈α这与已知A∈α矛盾∴假设错误，故直线AB与a是异面直线.［例2］已知α∩β＝a，bβ，a∩b＝A，cα，c∥a，求证b、c是异面直线.［师］仍然采用反证法来证.请同学动手证明(教师巡视，发现有两种证明方法，指派各一人板书于黑板上).证法一：假设b、c共面于γ，则bγ，cγ A∈b，bγ，∴A∈γ，即cγ，A∈γ A∈a，a∥c，∴A∈c，且cα，A∈α而经过直线c与其外一点A的平面有且只有一个.∴α与γ重合. aα，α与γ重合，∴aγ.又bγ且a∩b＝A∴a、b是γ内的两条相交直线.由已知，a、b是β内的两条相交直线.而经过两条相交直线a、b的平面有且只有一个∴β与γ重合，又α与γ重合∴α与β重合，这与α∩β＝a矛盾.∴假设错误，故b、c是异面直线.证法二：假设b、c共面，则b∥c或b、c相交若b∥c，又a∥c，∴a∥b，这与a∩b＝A矛盾.若b∩c＝P，又cα，bβ，∴P∈α∩β＝a，∴a∩c＝P，这与a∥c矛盾.由上可知，b、c既不平行又不相交∴b、c是异面直线.［师］由上面两题的证明可以看出，在假设的基础上，按照正确的推理，都要推出矛盾，这是反证法证题必然出现的结果.之所以出现矛盾，原因都是假设错误，因而才有否定假设，才能肯定结论之说.至于究竟与什么矛盾，这要在假设的基础上，即把假设作为一个条件，理清思路，再去推理，千万不能漫无目标，信手做来.反证法证题三步曲，推出矛盾是反证法证题的关键所在.［例3］如图，不共面的三条直线a、b、c相交于点O，点M∈a，点N∈b，点Q∈b，N、Q不是同一点，点P∈c.求证：MN与PQ异面［师］请同学们来讨论、分析怎样进行证明？(学生讨论、分析之后让学生汇报讨论结果.汇报时，要求其余学生注意听，待汇报完毕，再让其他学生补充，必要时，教师再作提示，直至分析完整为止.)证明：假设MN与PQ共面于α，则M、N、P、Q∈α，又Q、N∈b，∴bα又O∈b，∴O∈α又P∈α，∴cα同理aα，∴a、b、c共面.这与已知a...