函数与方程-备课资源0.618法0．618法也称黄金分割法，它是批次不限定，每批做一个试验的最优方法．试验点的选取可以用下公式计算：第一个试验点：；其余试验：．注意，这里是指中间已经做过的试验点，而不是中点．课本第138页问题3给出了一个函数：f（x）＝|x|＋|x－b|＋|x－c|＋|x－d|＋|x－e|＋|x－f|．怎样求出这个函数的最小值呢？下面给出一个此类问题的一般的结论．函数（a1＜a2＜…＜an）有最小值：（1）当n为奇数时，最小值为；（2）当n为偶数时，最小值为或．如果ai＝aj（i，j＝1，2，…n，i≠j），问题将转化为（pi为正整数，i＝1，2，…，n）型函数的最值问题．当pi（i＝1，2，…，n）为正实数的一般情况时有以下结果：定理：设，函数（a1＜a2＜…＜an，p1，p2，…，pn为正实数）有最小值：（1）时，最小值为f（a1）；（2）当p1＋p2＋…＋Pi－1≤且p1＋P2＋…pi＞（i＝1，…，n）时，最小值为f（ai）．函数f（x）的图象如下图所示：p1＋p2＋…＋pi－1＜且p1＋p2＋…＋pi－1＝时，p1＋p2＋…＋pi＞时，从图象容易看出，方程f（x）＝m的解只可能有无解、一解、两解，无数个解四种情况且一解与无数解的情况均在m等于f（x）的最小值时得到．【例】（车站选址问题）下图是一个工厂区的地图，若干个工厂分布在公路两侧，由一些小路与公路相连，由小路经各路口的工厂数目分别为p1，p2，…，pn，现要在公路上设一个长途汽车站，车站到各工厂（沿公路、小路走）的距离总和越小越好．问：这个车站设在什么地方最好？用心爱心专心116号编辑分析：问题可抽象为求一点x，使函数有最小值．其中a1，a2，…，an是各路口的位置坐标．很明显，最佳位置的选定仅与p1，p2，…，pn的大小及顺序有关．而与a1，a2，…an无关．由本文所给定理容易求解车站最佳位置．阿代数方程（algebraicequation）代数方程指多项式方程，其一般形式为anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝0，是代数学中最基本的研究对象之一．在20世纪以前，解方程一直是代数学的一个中心问题．二次方程的求解问题历史久远．在巴比伦泥板中（公元前18世纪）就载有二次方程的问题．古希腊人也解出了某些二次方程．中国古代数学家赵爽（公元3世纪）在求解一个有关面积的问题时，相当于给出二次方程－x2＋kx＝A的一个根．7世纪印度数学家婆罗摩笈多给出方程x2＋px－q＝0的一个求根的公式．一元二次方程的一般解法是9世纪阿拉伯数学家花拉子米建立的．对三次方程自古以来也有很多研究．在巴比伦泥板中，就有相当于三次方程的问题．阿基米德也曾讨论过方程x3＋a＝cx2的几何解法．11世纪波斯数学家奥马·海亚姆创立了用圆锥曲线解三次方程的几何方法，他的工作可以看作是代数与几何相结合的最早尝试．但是三次、四次方程的一般解法（即给出求根公式），直到15世纪末也还没有被发现．意大利数学家帕乔利在1494年出版的著作中还说：“x3＋mx＝n，x3＋n＝mx（m，n为正数）现在之不可解，正像化圆为方问题一样．”但到16世纪上半叶，三次方程的一般解法就由意大利数学家费罗、塔尔塔利亚和卡尔达诺等得到．三次方程的求根公式最早出现在卡尔达诺的《大术》（1545）之中；四次方程的求根公式由卡尔达诺的学生费拉里首先得到，也记载于卡尔达诺的《大术》中．在16世纪末到17世纪上半叶，数学家们还探讨如何判定方程的正根、负根和复根的个数．卡尔达诺曾指出一个实系数方程的复根是成对出现的，牛顿在他的《广义算术》中证明了这一事实．笛卡儿在他的《几何学》中给出了正负号法则（通称笛卡儿法则），即多项式方程f（x）＝0的正根的最多数目等于系数变号的次数，而负根的最多数目等于两个正号和两个负号连续出现的次数．但笛卡儿本人没有给出证明，这个法则是18世纪的几个数学家证明的．牛顿在《广义算术》中给出确定正负根数目上限的另一法则，并由此推出至少能有多少个复数根．研究代数方程的根与系数之间的关系，也是这一时期代数学的重要课题．卡尔达诺发现方程所有根的和等于xn－1的系数取负值，每两个根的乘积之和等于xn－2的系数，等等．韦达和牛顿也都在他们的著作中分别叙述了方程的根与系数之间的关系，现在称这个结果为韦达定理．这...
