10.3复数的三角形式及其运算[课程目标]1.掌握复数的三角形式的乘、除及乘方运算；2.掌握复数的代数形式与三角形式的转化关系．知识点一复数的三角形式[填一填]1．如果非零复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应点Z(a，b)，且r为向量OZ的模，θ是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，则r＝|z|＝，根据任意角余弦、正弦的定义可知，cosθ＝，sinθ＝.因此，a＝rcosθ，b＝rsinθ，如图所示，从而z＝a＋bi＝(rcosθ)＋(rsinθ)i＝r(cosθ＋isinθ)，上式的右边称为非零复数z＝a＋bi的三角形式(对应地，a＋bi称为复数的代数形式)，其中的θ称为z的辐角．2．任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍．特别地，在[0,2π)内的辐角称为z的辐角主值，记作argz.[答一答]1．复数的三角形式条件是什么？提示：z＝r(cosθ＋isinθ)，①r≥0.②加号连接．③余弦在前，正弦在后．④θ前后一致，可任意值．知识点二复数三角形式的乘法[填一填]1．设z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，则z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)×r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．2．两个复数相乘的几何意义：设z1，z2对应的向量分别为OZ1，OZ2，将OZ1绕原点旋转θ2，再将OZ1的模变为原来的r2倍，如果所得向量为OZ，则OZ对应的复数即为z1z2，如图所示．3．如果n∈N，则[r(cosθ＋isinθ)]n＝rn[cos(nθ)＋isin(nθ)]．[答一答]2．复数三角形式的乘法的运算原则是什么？提示：两个复数相乘，其积还是一个复数，它的模等于两个复数模的积，它的辐角等于两个复数辐角的和．也就是说，两个复数相乘，是把模相乘作为积的模，把辐角相加作为积的辐角．知识点三复数三角形式的除法[填一填]1．设z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)(z2≠0)，则＝＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．2．两个复数相除的几何意义：设z1，z2对应的向量分别为OZ1，OZ2，将OZ1绕原点顺时针旋转θ2，再将OZ的模变为原来的，如果所得向量为OZ，则OZ对应的复数即为，如图所示．[答一答]3．复数三角形式除法的运算法则是什么？提示：两个复数相除(除数不为0)，其商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，它的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．也就是说，两个复数相除(除数不为0)，是把模相除作为商的模，辐角相减作为商的辐角．类型一由复数的代数形式化三角形式[例1]下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式．(1)z1＝－2(cosθ＋isinθ)；(2)z2＝cosθ－isinθ；(3)z3＝－sinθ＋icosθ；(4)z4＝sinθ－icosθ；(5)z5＝cos60°＋isin30°.[分析]由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向变形时，可按照如下步骤进行：首先确定复数z在复平面内对应点所在象限(此处可假定θ为锐角)，其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角，此步骤可简称为“定点→定名→定角”这样，使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问题的正确率．[解](1)由“模非负”知，不是三角形式，需做变换z1＝2(－cosθ－isinθ)，z1在复平面上对应的点(－2cosθ，－2sinθ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－cosθ”已在前，不需再变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限，∴z1＝2(－cosθ－isinθ)＝2[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．(2)由“加号连”知，不是三角形式．z2在复平面内对应的点(cosθ2，－sinθ)在第四象限(假定θ为锐角)，不需改变三角函数名称，可用诱导公式“2π－θ”或“－θ”将θ变换到第四象限．∴z2＝cosθ－isinθ＝cos(－θ)＋isin(－θ)或z2＝cosθ－isinθ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)．(3)由“余弦前”知，不是三角形式．z3在复平面内对应的点(－sinθ，cosθ)在第二象限(假定θ为锐角)，需改变三角函数名称，可用诱导公式“＋θ”将θ变换到第二象限．∴z3＝－sinθ＋icosθ＝cos(＋θ)＋isin(＋θ)．(4)同理(3)z4＝sinθ－icosθ＝cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)．(5)z5＝cos60°＋isin30°＝＋i＝(1＋i)＝×(cos＋isin)＝(cos＋isin)．考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角...
