高中数学 第五章 三角函数 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第2课时）正、余弦函数的单调性与最值教师用书 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学教案VIP免费

第2课时正、余弦函数的单调性与最值考点学习目标核心素养正、余弦函数的单调性理解正弦函数与余弦函数的单调性，会求函数的单调区间数学运算利用正、余弦函数的单调性比较大小会利用三角函数单调性比较三角函数值的大小数学运算、逻辑推理正、余弦函数的最值(值域)会利用三角函数单调性求函数的最值和值域数学运算问题导学预习教材P204－P207，并思考以下问题：1．正、余弦函数的单调区间相同吗？它们分别是什么？2．正、余弦函数的最值分别是多少？正弦、余弦函数的图象和性质正弦函数余弦函数图象值域[－1，1][－1，1]单调性增区间，k∈Z，k∈Z减区间，k∈Z[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z最值ymax＝1x＝＋2kπ，k∈Zx＝2kπ，k∈Zymin＝－1x＝－＋2kπ，k∈Zx＝π＋2kπ，k∈Z■名师点拨正、余弦函数不是定义域上的单调函数，如说“正弦函数在第一象限是增函数”也是错误的，因为在第一象限的单调递增区间有无穷多个，在每个单调增区间上，y＝sinx都是从0增加到1，但不能看作一个单调区间．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝sinx的最大值为1.()(2)∃x0∈[0，2π]，满足cosx0＝.()(3)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．()答案：(1)×(2)×(3)×1在下列区间中，使函数y＝sinx为增函数的是()A．[0，π]B.C.D．[π，2π]答案：C函数y＝1－2cosx的最小值、最大值分别是()A．－1，3B．－1，1C．0，3D．0，1答案：A函数y＝sinx(≤x≤)的值域为________．答案：[，1]函数y＝－cosx的单调递减区间是____________；单调递增区间是____________．答案：[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)正、余弦函数的单调性求下列函数的单调递减区间：(1)y＝cos；(2)y＝2sin.【解】(1)令z＝2x＋，而函数y＝cosz的单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．所以当原函数单调递减时，可得2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以原函数的单调递减区间是(k∈Z)．(2)y＝2sin＝－2sin.令z＝x－，则y＝－2sinz，求y＝－2sinz的单调递减区间，即求sinz的单调递增区间．所以－＋2kπ≤z≤＋2kπ，k∈Z.即－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z.所以－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.所以函数y＝2sin的单调递减区间是(k∈Z)．求正、余弦函数的单调区间的策略(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间同上．1．函数y＝sin，x∈R在()A.上是增函数B．[0，π]上是减函数2C．[－π，0]上是减函数D．[－π，π]上是减函数解析：选B.因为y＝sin＝cosx，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数．2．求函数y＝的单调增区间．解：设x＋＝u，y＝|sinu|的大致图象如图所示，函数的周期是π.当u∈(k∈Z)时，函数y＝|sinu|递增．函数y＝的单调递增区间是(k∈Z)．比较三角函数值的大小比较下列各组数的大小．(1)sinπ与sinπ；(2)cos与cos；(3)sin194°与cos160°.【解】(1)因为函数y＝sinx在上单调递减，且＜π＜π＜π，所以sinπ＞sinπ.(2)cos＝cos，因为0＜＜＜π，y＝cosx在(0，π)上是减函数，所以cos＜cos.所以cos＜cos.(3)由于sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°，又0°＜14°＜70°＜90°，而y＝sinx在上单调递增，所以sin14°＜sin70°，－sin14°＞－sin70°，即sin194°＞cos160°.比较三角函数值大小的步骤(1)异名函数化为同名函数；(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上；(3)利用函数的单调性比较大小．1．sin470°________cos760°(填“＞”“＜”或“＝”)．解析：sin470°＝sin110°＝cos20°>0，cos760°＝cos40°>0且cos20°>cos40°，所以cos760°