第1课时正、余弦函数的周期性与奇偶性考点学习目标核心素养函数的周期性了解周期函数的概念数学抽象正、余弦函数的周期性理解正弦函数与余弦函数的周期性，会求函数的周期数学抽象、数学运算正、余弦函数的奇偶性理解三角函数的奇偶性以及对称性，会判断给定函数的奇偶性逻辑推理问题导学预习教材P201－P203，并思考以下问题：1．周期函数的定义是什么？2．如何利用周期函数的定义求正、余弦函数的周期？3．正、余弦函数的奇偶性分别是什么？1．函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．■名师点拨对周期函数的两点说明(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．(2)如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sinxy＝cosx图象定义域RR周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π2π奇偶性奇函数偶函数■名师点拨(1)正、余弦函数的周期性①正弦函数和余弦函数所具有的周期性实质上是由终边相同的角具有的周期性所决定的；②由诱导公式sin(x＋2kπ)＝sinx(k∈Z)，cos(x＋2kπ)＝cosx(k∈Z)也可以说明它1们的周期性．③函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期T＝.(2)关于正、余弦函数的奇偶性①正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称；②正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若sin＝sin，则是正弦函数y＝sinx的一个周期．()(2)函数y＝sinx，x∈(－π，π]是奇函数．()(3)因为sin(2x＋2π)＝sin2x，所以函数y＝sin2x的最小正周期为2π.()(4)若T是函数f(x)的周期，则kT，k∈N*也是函数f(x)的周期．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√下列函数中，最小正周期为4π的是()A．y＝sinxB．y＝cosxC．y＝sinD．y＝cos2x答案：C函数y＝2sin是()A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数答案：B函数y＝3－cosx的图象()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线x＝对称答案：B若函数f(x)是周期为3的周期函数，且f(－1)＝3，则f(2)＝________．答案：3正、余弦函数的周期问题求下列三角函数的最小正周期T：(1)f(x)＝sin；(2)f(x)＝cos(2x＋)；(3)f(x)＝|sinx|.【解】(1)令z＝x＋，因为sin(2π＋z)＝sinz，所以f(2π＋z)＝f(z)，f＝f，所以T＝2π.(2)法一(定义法)：因为f(x)＝cos(2x＋)2＝cos(2x＋＋2π)＝cos[2(x＋π)＋]＝f(x＋π)，即f(x＋π)＝f(x)，所以函数f(x)＝cos(2x＋)的最小正周期T＝π.法二(公式法)：因为f(x)＝cos(2x＋)，所以ω＝2.又最小正周期T＝＝＝π，所以函数f(x)＝cos(2x＋)的最小正周期T＝π.(3)法一：因为f(x)＝|sinx|，所以f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|－sinx|＝|sinx|＝f(x)，故f(x)的最小正周期为π.法二：画出函数y＝|sinx|的图象，如图所示，由图象可知最小正周期T＝π.求函数周期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数．(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω＞0)的函数，可利用T＝来求．(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．1．设函数f(x)＝sin，则f(x)的最小正周期为()A.B．πC．2πD．4π解析：选D.函数f(x)＝sin的最小正周期T＝＝4π.故选D.2．设a＞0，若函数y＝sin(ax＋π)的最小正周期是π，则a＝________．解析：由题意知T＝＝π，所以a＝2.答案：2正、余弦函数的奇偶性问题判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝cos；(2)f(x)＝sin(cosx)．【解】(1)函数的定义域为R，且f(x)＝cos＝－sin2x.因为f(...
