高中数学 第二讲 参数方程 二 圆锥曲线的参数方程 1 椭圆的参数方程讲义（含解析）新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学教案VIP专享VIP免费

1．椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是(φ为参数)，规定参数φ的取值范围是[0,2π)．(2)中心在(h，k)的椭圆普通方程为＋＝1，则其参数方程为(φ为参数)．椭圆的参数方程的应用：求最值[例1]已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．[思路点拨](1)由椭圆的参数方程公式，求椭圆的参数方程，由换元法求直线的普通方程．(2)将椭圆上的点的坐标设成参数方程的形式，将问题转化为三角函数求最值问题．[解](1)曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝|4cosθ＋3sinθ－6|.则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解．1．已知椭圆＋＝1，点A的坐标为(3,0)．在椭圆上找一点P，使点P与点A的距离最大．解：椭圆的参数方程为(θ为参数)．设P(5cosθ，4sinθ)，则|PA|＝＝＝＝|3cosθ－5|≤8，当cosθ＝－1时，|PA|最大．此时，sinθ＝0，点P的坐标为(－5,0).椭圆参数方程的应用：求轨迹方程[例2]已知A，B分别是椭圆＋＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．[思路点拨]由条件可知，A，B两点坐标已知，点C在椭圆上，故可设出点P坐标的椭圆参数方程形式，由三角形重心坐标公式求解．[解]由题意知A(6,0)、B(0,3)．由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cosθ，3sinθ)，点G的坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得即消去参数θ得△ABC的重心G的轨迹方程为＋(y－1)2＝1.本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．2．已知椭圆方程是＋＝1，点A(6,6)，P是椭圆上一动点，求线段PA中点Q的轨迹方程．解：设P(4cosθ，3sinθ)，Q(x，y)，则有即(θ为参数)，∴9(x－3)2＋16(y－3)2＝36即为所求．3．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点．(1)若椭圆C上的点A到F1，F2的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程．解：(1)由椭圆上点A到F1，F2的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.又点A在椭圆上，因此＋＝1，得b2＝3，于是c2＝a2－b2＝1，所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)．(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cosθ，sinθ)，线段F1P的中点坐标为(x，y)，则x＝，y＝，所以x＋＝cosθ，＝sinθ.消去θ，得2＋＝1即为线段F1P中点的轨迹方程.椭圆参数方程的应用：证明问题[例3]已知椭圆＋y2＝1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1，B2的连线分别交x轴于P，Q两点，求证：|OP|·|OQ|为定值．[思路点拨]利用参数方程，设出点M的坐标，并由此得到直线MB1，MB2的方程，从而得到P，Q两点坐标，求出|OP|，|OQ|，再求|OP|·|OQ|的值．[证明]设M(2cosφ，sinφ)，φ为参数，因为B1(0，－1)，B2(0,1)，则MB1的方程为y＋1＝·x，令y＝0，则x＝，即|OP|＝.MB2的方程为y－1＝x，令y＝0，则x＝.∴|OQ|＝.∴|OP|·|OQ|＝·＝4.即|OP|·|OQ|＝4为定值．利用参数方程证明定值(或恒成立)问题，首先是用参数把要证明的定值(或恒成立的式子)表示出来，然后利用条件消去参数，得到一个与参数无关的定值即可．4．求证：椭圆(a>b>0,0≤θ≤2π)上一点M与其左焦点F的距离的最大值为a＋c(其中c2＝a2－b2)．证明：M，F的坐标分别为(acosθ，bsinθ)，(－c,0)．|MF|2＝(acosθ＋c)2＋(bsinθ)2＝a2cos2θ＋2accosθ＋c2＋b2－b2cos2θ＝c2cos2θ＋2accosθ＋a2＝(a＋ccosθ)2.∴当cosθ＝1时，|MF|2最大，|MF|最大，最大值为a＋c.一、选择题1．椭圆(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ＝()A．πB.C．2πD.π解析：选A 在点(－a,0)中，x＝－a，∴－a＝acosθ，...