第1课时均值不等式考点学习目标核心素养均值不等式理解算术平均值与几何平均值的概念，掌握均值不等式及其推理过程数学抽象、逻辑推理利用均值不等式求最值能够运用均值不等式求函数或代数式的最值数学运算问题导学预习教材P72－P75的内容，思考以下问题：1．正数a，b的算术平均值和几何平均值是什么？2．均值不等式的内容是什么？3．均值不等式中的等号成立的条件是什么？4．两个正数的积为常数时，它们的和有什么特点？5．两个正数的和为常数时，它们的积有什么特点？1．算术平均值与几何平均值给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数称为a，b的几何平均值．2．均值不等式如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立．■名师点拨(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)．(2)两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”．3．均值不等式与最值已知x＞0，y＞0，则(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值.(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．■名师点拨利用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即：①一正：符合均值不等式≥成立的前提条件，a＞0，b＞0；②二定：化不等式的一边为定值；③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立．()(2)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2.()(3)若a>0，b>0，则ab≤.()(4)a，b同号时，＋≥2.()(5)函数y＝x＋的最小值为2.()答案：(1)√(2)√(3)√(4)√(5)×如果a>0，那么a＋＋2的最小值是()A．2B．2C．3D．4解析：选D.因为a>0，所以a＋＋2≥2＋2＝2＋2＝4.不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为()A．x≥2yB．x>2yC．x≤2yD．x<2y解析：选B.因为不等式成立的前提条件是各项均为正实数，所以x－2y>0，即x>2y，故选B.已知0＜x＜1，则x(1－x)的最大值为________，此时x＝________．解析：因为0＜x＜1，所以1－x＞0，所以x(1－x)≤＝＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时“＝”成立，即当x＝时，x(1－x)取得最大值.答案：对均值不等式的理解下列结论正确的是()A．若x∈R，且x≠0，则＋x≥4B．当x>0时，＋≥2C．当x≥2时，x＋的最小值为2D．当00)的最小值是－2.(2)因为实数x，y满足2x＋y＝1，所以y＝1－2x，所以xy＝x(1－2x)＝－2x2＋x＝－2＋≤，当x＝，y＝时取等号，最大值是.(1)若a＋b＝p(和为定值)，当a＝b时，积ab有最大值，可以用均值不等式≤求得．(2)若ab＝s(积为定值)，则当a＝b时，和a＋b有最小值2，可以用均值不等式a＋b≥2求得．不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立．1．(2019·北京朝阳期末考试)若x＞0，则y＝12x＋的最小值为()A．2B．2C．4D．8解析：选C.因为x＞0，所以y＝12x＋≥2＝4，当且仅当12x＝，即x＝时等号成立，故选C.2．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为()A．16B．25C．9D．36解析：选B.因为x＞0，y＞0，且x＋y＝8，所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋＝9＋42＝25，因此当且仅当x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取得...
